Bonjour, j'ai un exercice sur les dérivées: f(x)=(1-x)^(-1)
Alors, il faut trouver les quatres premières dérivées en 0. J'ai trouvé f ' (0)=1 f '' (0)=2 f ''' (0)=6 f ''''(0)= 24
Et après il faut trouver une formule pour la valeur de la nième dérivée de f en zéro et démontrer sa validité. J'ai trouvé une formule: (n-2).(n-1).n mais le problème, c'est que cette formule ne marche pas pour la première ni la deuxième dérivée en zéro, elle a l'air de marcher pour les suivantes
Merci d'avance
Il y a beaucoup plus simple.
D'ailleurs, ça ne marche pas non plus pour la dérivée cinquième.
Comment passe-t-on par le même procédé de 1 à 2, de 2 à 6, de 6 à 24 ?
Cordialement.
Oui c'est vrai, c'est multiplié par deux puis par trois puis par quatre. Alors, la formule ce serait n multiblié par la dérivée du degré précedent en zéro, mais comment mettre ca sous forme de formule?
On appelle factorielle de n (nombre entier positif) le nombre 1x2x3x...x(n-1)xn noté n!. Avec, par convention 0!=1; 1!=1.
Donc 2!=1x2=2; 3!=1x2x3=6; etc.
Cordialement.
Ok, donc la formule c'est n! mais j'ai oublié de préciser qu'il fallait démontrer la validité de la formule. Est-ce que c'est suffisant comme démonstration si je dis que les quatres premières dérivées en zéros correspondent avec la formule?
Lorsque tu conjectures une formule il faut toujours la vérifier par récurrence.Envoyé par Bichonfrise
Donc, c'est suffisant si je montre que la formule est vrai pour les quatres premières dérivées en zéro?
Non ce n'est pas suffisant, car tu n'auras pas prouvé qu'elle marche pour tout entier.
Sais-tu faire une démonstration par récurrence ?
non pas vraiment, c'est quoi?
Le principe est de montrer que cette formule est vraie pour un entier donné, (prenons ici 1), puis de démontrer que, SI la formule est vraie pour la dérivée n-ième , ALORS elle est également vraie pour la dérivée n+1-ème.
Ainsi, tu montres que cette formule est vraie pour toutes les dérivées n-ième , avec
En fait,
il faut démontrer une formule sur la dérivée n-ième (elle est simple) par récurrence, puis en déduire la valeur en 0 (il n'y a pas de lien général entre la valeur d'une fonction en 0 et la valeur de sa dérivée en 0).
Bon travail !
J'ai trouvé comme formule pour la nième dérivée: n!(1-x)^(-1-n) mais je ne comprends pas comment la prouver par récurrence
Trois étapes :
1) vérifier que c'est vrai au début (facile)
2) supposer que c'est vrai pour un certain entier n : hypothèse
et en déduire que c'est vrai pour l'entier suivant (qui est n+1); donc ici, dériver
3) conclure que c'est vrai pour tous les entiers.
Cordialement.
NB : C'est vrai même pour n=0 en prenant f comme dérivée "zéro-ième" de f et 0!=1.
Pour n=1, la première dérivée est égale à 1/(1-x)^(2)= n!(1-x)^(-1-n) donc la formules est vrai pour n=1
Je sais qu'il faut que je prouve ensuite que c'est aussi vrai pour n+1 mais c'est ca justement ce que je ne sais pas faire
Bonsoir,
Par définition
Cordialement
Dernière modification par PlaneteF ; 29/09/2014 à 21h22.
je comprends pas. comment je peux dériver une fonction au nième degré
Par hypothèse de récurrence tu connais la fonction dérivée n-ième, ... que tu dérives tout simplement !
Cdt
Dernière modification par PlaneteF ; 29/09/2014 à 21h51.
n remplace un entier. Tu sais faire pour n=1, 2, 3, pas de raison de ne pas savoir faire ici, puisque tu connais l'écriturre de la fonction (hypothèse de récurrence).
Cordialement.
