Bonjour à vous , alors voilà j'ai un DM à faire j'ai réussi à répondre à la plupart des questions mais je bloque à un endroit Pourriez-vous m'aider et me dire si mes réponse sont justes?
Soit f la fonction définie par f(x) = ( x^3 - 1 ) / ( x² +2x + 1 )
1- dérivée de f
a) déterminer l'ensemble de définition D de f .
Soit f(x) = ( x^3 - 1 ) / ( x² +2x + 1 )
= ( x^3 - 1 ) / (x+1)²
Or [f(x) existe ]<=> x+1(différent) 0 <=> x (différent) -1
d'ou D= ] - l'infini ; -1 [U]-1 ; + l'infini [
b) calculer f'(x) pour tout réel x de D et montrer que pour tout réel x, f'(x)= ( x^3 + 3x² +2 ) / ( x+1 ) ^3
Pour tout réel x de D, f est une fonction rationnelle et f est dérivable sur D, c'est-à-dire , sur ] - l'infini ; -1 [U]-1 ; + l'infini [
ainsi, u -> x^3 -1 et v: ->(x+1)² D'où f'=u/v est dérivable sur D
f^\prime(x)=\dfrac{3x^2(x+1)^2-2(x+1)(x^3-1)}{(x+1)^4}
f^\prime(x)=\dfrac{(x+1)\left( (3x^2(x+1)-2(x^3-1)\right)}{(x+1)^3(x+1)}
f^\prime(x)=\dfrac{\cancel{(x+ 1)}\left((3x^2(x+1)-2(x^3-1)\right)}{(x+1)^3\cancel{(x+1 )}}
f^\prime(x)=\dfrac{3x^3+3x^2-2x^3+2}{(x+1)^3}
f^\prime(x)=\dfrac{x^3+3x^2+2} {(x+1)^3}
2- Etude d'une fonction auxiliaire
soit g la fonction définie sur R par g(x) = x^3 + 3x² +2
a) Étudier les limite en - l'infini et en + l'infini
Étude de la limite en - l'infini
Lim(x-> - l'infini ) x^3 = - l'infini
Lim(x-> - l'infini ) 3x²+2 = + l'infini
[ forme indéterminé ]
g(x) = x^3 ( 1+ (3x²/x^3) + (2/x^3 ) )
Par quotient puis par somme , Lim (x-> - l'infini ) ( 1+ (3x²/x^3) + (2/x^3 ) ) = 1
et par produit , Lim (x-> - l'infini ) g(x) = - l'infini
Étude de la limite en + l'infini
Par produit, Lim(x-> + l'infini ) x^3 = +l'infini
Par produit puis par somme , Lim(x-> + l'infini ) x^3 +3x²+2 = + l'infini
(petite question doit-je plutôt écrire lim ( x-> +l'infini , x>0 ) ou pas )
b- Etudier les variations de g et dresser son tableau de variations.
soit g(x) = x^3 + 3x²+ 2
la fonction polynomiale g est dérivable sur R, d'où :
Pour tout x E R, g'(x) = 3x²+6x
= x(3x+6)
(delta) = b²-4ac = 36
or (delta) >0 d'où la fonction g admet deux solution reel distinct :
x1 =-2
x2=0
d'ou le tableau de signe :
x -l'infinie -2 0 +l'infini
g'(x) + 0 - 0 +
g(x) (-l'infini) croissante 6 décroissante 2 Croissante (+l'infini)
signe de a à l'extérieur des racines 3>0
g(-2) = 6
g(0) = 2
g(x) est strictement croissante sur ]- l'infini ; -2]U[0;+l'infini[
et strictement décroissante sur ]-2;0[
c) montrer que l'équation g(x) = 0 possède une unique solution (alfa) sur R ( voilà la question ou je bloque )
donner une valeur approchée de alfa à 10^-2 près .
voilà ce que j'ai noté :
Sur ]-l'infini ; -2 ]
g est continu
g est strictement croissante
0 est compris entre -l'infini = lim(x->-l'infini , x<0 ) g(x) et 6 =f(-2)
Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires g(x) = 0 admet une unique solution sur ]-l'infini ; -2 ]
Sur [-2 ; 0 [
g est continu
g est strictement décroissante
0 est compris entre -l'infini = lim(x->-l'infini , x<0 ) g(x) et 6 =f(-2)
Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires g(x) = 0 admet une unique solution sur [-2 ; 0 [
[Doit-je continués mon raisonnement ou est-il faut ?
d) En déduire le signe de g(x) suivant les valeurs de x
3- Tableau de variation de f
a) Étudier les limite de f aux bornes de son ensemble de définition
b) Dresser, en justifiant, le tableau de variation de f
Cordialement .
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Envoyé par Mllx 
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