Dm ts
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Dm ts



  1. #1
    Mllx

    Dm ts


    ------

    Bonjour à vous , alors voilà j'ai un DM à faire j'ai réussi à répondre à la plupart des questions mais je bloque à un endroit Pourriez-vous m'aider et me dire si mes réponse sont justes?

    Soit f la fonction définie par f(x) = ( x^3 - 1 ) / ( x² +2x + 1 )
    1- dérivée de f
    a) déterminer l'ensemble de définition D de f .
    Soit f(x) = ( x^3 - 1 ) / ( x² +2x + 1 )
    = ( x^3 - 1 ) / (x+1)²
    Or [f(x) existe ]<=> x+1(différent) 0 <=> x (différent) -1
    d'ou D= ] - l'infini ; -1 [U]-1 ; + l'infini [


    b) calculer f'(x) pour tout réel x de D et montrer que pour tout réel x, f'(x)= ( x^3 + 3x² +2 ) / ( x+1 ) ^3

    Pour tout réel x de D, f est une fonction rationnelle et f est dérivable sur D, c'est-à-dire , sur ] - l'infini ; -1 [U]-1 ; + l'infini [
    ainsi, u -> x^3 -1 et v: ->(x+1)² D'où f'=u/v est dérivable sur D

    f^\prime(x)=\dfrac{3x^2(x+1)^2-2(x+1)(x^3-1)}{(x+1)^4}

    f^\prime(x)=\dfrac{(x+1)\left( (3x^2(x+1)-2(x^3-1)\right)}{(x+1)^3(x+1)}

    f^\prime(x)=\dfrac{\cancel{(x+ 1)}\left((3x^2(x+1)-2(x^3-1)\right)}{(x+1)^3\cancel{(x+1 )}}

    f^\prime(x)=\dfrac{3x^3+3x^2-2x^3+2}{(x+1)^3}

    f^\prime(x)=\dfrac{x^3+3x^2+2} {(x+1)^3}


    2- Etude d'une fonction auxiliaire
    soit g la fonction définie sur R par g(x) = x^3 + 3x² +2

    a) Étudier les limite en - l'infini et en + l'infini
    Étude de la limite en - l'infini
    Lim(x-> - l'infini ) x^3 = - l'infini
    Lim(x-> - l'infini ) 3x²+2 = + l'infini
    [ forme indéterminé ]

    g(x) = x^3 ( 1+ (3x²/x^3) + (2/x^3 ) )
    Par quotient puis par somme , Lim (x-> - l'infini ) ( 1+ (3x²/x^3) + (2/x^3 ) ) = 1
    et par produit , Lim (x-> - l'infini ) g(x) = - l'infini

    Étude de la limite en + l'infini
    Par produit, Lim(x-> + l'infini ) x^3 = +l'infini
    Par produit puis par somme , Lim(x-> + l'infini ) x^3 +3x²+2 = + l'infini
    (petite question doit-je plutôt écrire lim ( x-> +l'infini , x>0 ) ou pas )


    b- Etudier les variations de g et dresser son tableau de variations.
    soit g(x) = x^3 + 3x²+ 2
    la fonction polynomiale g est dérivable sur R, d'où :
    Pour tout x E R, g'(x) = 3x²+6x
    = x(3x+6)
    (delta) = b²-4ac = 36
    or (delta) >0 d'où la fonction g admet deux solution reel distinct :
    x1 =-2
    x2=0
    d'ou le tableau de signe :

    x -l'infinie -2 0 +l'infini
    g'(x) + 0 - 0 +
    g(x) (-l'infini) croissante 6 décroissante 2 Croissante (+l'infini)


    signe de a à l'extérieur des racines 3>0

    g(-2) = 6
    g(0) = 2

    g(x) est strictement croissante sur ]- l'infini ; -2]U[0;+l'infini[
    et strictement décroissante sur ]-2;0[


    c) montrer que l'équation g(x) = 0 possède une unique solution (alfa) sur R ( voilà la question ou je bloque )
    donner une valeur approchée de alfa à 10^-2 près .

    voilà ce que j'ai noté :
    Sur ]-l'infini ; -2 ]
    g est continu
    g est strictement croissante
    0 est compris entre -l'infini = lim(x->-l'infini , x<0 ) g(x) et 6 =f(-2)
    Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires g(x) = 0 admet une unique solution sur ]-l'infini ; -2 ]

    Sur [-2 ; 0 [
    g est continu
    g est strictement décroissante
    0 est compris entre -l'infini = lim(x->-l'infini , x<0 ) g(x) et 6 =f(-2)
    Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires g(x) = 0 admet une unique solution sur [-2 ; 0 [

    [Doit-je continués mon raisonnement ou est-il faut ?



    d) En déduire le signe de g(x) suivant les valeurs de x

    3- Tableau de variation de f

    a) Étudier les limite de f aux bornes de son ensemble de définition
    b) Dresser, en justifiant, le tableau de variation de f



    Cordialement .

    -----
    Dernière modification par Médiat ; 20/10/2014 à 16h39. Motif: Le vert est réservé à la Modération.

  2. #2
    Mllx

    Re : Dm ts

    Citation Envoyé par Mllx Voir le message
    Bonjour à vous , alors voilà j'ai un DM à faire j'ai réussi à répondre à la plupart des questions mais je bloque à un endroit Pourriez-vous m'aider et me dire si mes réponse sont justes?

    Soit f la fonction définie par f(x) = ( x^3 - 1 ) / ( x² +2x + 1 )
    1- dérivée de f
    a) déterminer l'ensemble de définition D de f .
    Soit f(x) = ( x^3 - 1 ) / ( x² +2x + 1 )
    = ( x^3 - 1 ) / (x+1)²
    Or [f(x) existe ]<=> x+1(différent) 0 <=> x (différent) -1
    d'ou D= ] - l'infini ; -1 [U]-1 ; + l'infini [


    b) calculer f'(x) pour tout réel x de D et montrer que pour tout réel x, f'(x)= ( x^3 + 3x² +2 ) / ( x+1 ) ^3

    Pour tout réel x de D, f est une fonction rationnelle et f est dérivable sur D, c'est-à-dire , sur ] - l'infini ; -1 [U]-1 ; + l'infini [
    ainsi, u -> x^3 -1 et v: ->(x+1)² D'où f'=u/v est dérivable sur D

    f'(x) = [ x^3 -1 )' (x+1)-(x^3-1)(x+1)'] / (x+1)^4
    = [3x²(x+1)²]- [(x^3-1)2] / (x+1)^4
    = [ 3x²(x+1)² - 2(x^3-1) ] /(x+1)^4
    = [(x+1) (3x²(x+1)) - 2(x^3-1)] / (x+1)^4
    = 3x²(x+1)-2(x^3-1) / (x+1)^4
    =( 3x^3+3x²-2x^3+2 ) / (x+1)^3
    = (x^3 +3x²+2 ) / (x+1)^3


    2- Etude d'une fonction auxiliaire
    soit g la fonction définie sur R par g(x) = x^3 + 3x² +2

    a) Étudier les limite en - l'infini et en + l'infini
    Étude de la limite en - l'infini
    Lim(x-> - l'infini ) x^3 = - l'infini
    Lim(x-> - l'infini ) 3x²+2 = + l'infini
    [ forme indéterminé ]

    g(x) = x^3 ( 1+ (3x²/x^3) + (2/x^3 ) )
    Par quotient puis par somme , Lim (x-> - l'infini ) ( 1+ (3x²/x^3) + (2/x^3 ) ) = 1
    et par produit , Lim (x-> - l'infini ) g(x) = - l'infini

    Étude de la limite en + l'infini
    Par produit, Lim(x-> + l'infini ) x^3 = +l'infini
    Par produit puis par somme , Lim(x-> + l'infini ) x^3 +3x²+2 = + l'infini
    (petite question doit-je plutôt écrire lim ( x-> +l'infini , x>0 ) ou pas )


    b- Etudier les variations de g et dresser son tableau de variations.
    soit g(x) = x^3 + 3x²+ 2
    la fonction polynomiale g est dérivable sur R, d'où :
    Pour tout x E R, g'(x) = 3x²+6x
    = x(3x+6)
    (delta) = b²-4ac = 36
    or (delta) >0 d'où la fonction g admet deux solution reel distinct :
    x1 =-2
    x2=0
    d'ou le tableau de signe :

    x -l'infinie -2 0 +l'infini
    g'(x) + 0 - 0 +
    g(x) (-l'infini) croissante 6 décroissante 2 Croissante (+l'infini)


    signe de a à l'extérieur des racines 3>0

    g(-2) = 6
    g(0) = 2

    g(x) est strictement croissante sur ]- l'infini ; -2]U[0;+l'infini[
    et strictement décroissante sur ]-2;0[


    c) montrer que l'équation g(x) = 0 possède une unique solution (alfa) sur R ( voilà la question ou je bloque )
    donner une valeur approchée de alfa à 10^-2 près .

    voilà ce que j'ai noté :
    Sur ]-l'infini ; -2 ]
    g est continu
    g est strictement croissante
    0 est compris entre -l'infini = lim(x->-l'infini , x<0 ) g(x) et 6 =f(-2)
    Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires g(x) = 0 admet une unique solution sur ]-l'infini ; -2 ]

    Sur [-2 ; 0 [
    g est continu
    g est strictement décroissante
    0 est compris entre -l'infini = lim(x->-l'infini , x<0 ) g(x) et 6 =f(-2)
    Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires g(x) = 0 admet une unique solution sur [-2 ; 0 [

    [Doit-je continués mon raisonnement ou est-il faut ?



    d) En déduire le signe de g(x) suivant les valeurs de x

    3- Tableau de variation de f

    a) Étudier les limite de f aux bornes de son ensemble de définition
    b) Dresser, en justifiant, le tableau de variation de f



    Cordialement .

    correction en violet
    Dernière modification par Médiat ; 20/10/2014 à 16h42.

  3. #3
    Duke Alchemist

    Re : Dm ts

    Bonjour.
    Citation Envoyé par Mllx Voir le message
    2- Etude d'une fonction auxiliaire
    soit g la fonction définie sur R par g(x) = x^3 + 3x² +2

    a) Étudier les limite en - l'infini et en + l'infini
    [COLOR=#008080]Étude de la limite en - l'infini
    Lim(x-> - l'infini ) x^3 = - l'infini
    Lim(x-> - l'infini ) 3x²+2 = + l'infini
    [ forme indéterminé ]
    Que dirais-tu que la limite à l'infini d'une fonction polynomiale est celle du termes de plus haut degré ?

    b- Etudier les variations de g et dresser son tableau de variations.
    soit g(x) = x^3 + 3x²+ 2
    la fonction polynomiale g est dérivable sur R, d'où :
    Pour tout x E R, g'(x) = 3x²+6x
    = x(3x+6)
    (delta) = b²-4ac = 36
    or (delta) >0 d'où la fonction g admet deux solution reel distinct :
    x1 =-2
    x2=0
    d'ou le tableau de signe :

    x -l'infinie -2 0 +l'infini
    g'(x) + 0 - 0 +
    g(x) (-l'infini) croissante 6 décroissante 2 Croissante (+l'infini)


    signe de a à l'extérieur des racines 3>0

    g(-2) = 6
    g(0) = 2

    g(x) est strictement croissante sur ]- l'infini ; -2]U[0;+l'infini[
    et strictement décroissante sur ]-2;0[
    Peux-tu me rappeler l'intérêt (le rôle) du calcul du discriminant ? Est-ce utile ici ?

    c) montrer que l'équation g(x) = 0 possède une unique solution (alpha) sur R ( voilà la question ou je bloque )
    donner une valeur approchée de alpha à 10^-2 près .

    voilà ce que j'ai noté :
    Sur ]-l'infini ; -2 ]
    g est continu
    g est strictement croissante
    0 est compris entre -l'infini = lim(x->-l'infini , x<0 ) g(x) et 6 =f(-2)
    Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires g(x) = 0 admet une unique solution sur ]-l'infini ; -2 ]

    Sur [-2 ; 0 [
    g est continu
    g est strictement décroissante
    0 est compris entre -l'infini = lim(x->-l'infini , x<0 ) g(x) et 6 =f(-2)
    Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires g(x) = 0 admet une unique solution sur [-2 ; 0 [

    [Dois-je continuer mon raisonnement ou est-il faux ?
    Il y a un problème. Si on te demande de montrer qu'il y a une solution unique sur lR c'est qu'il doit y en avoir qu'une seule (par définition de unique)...
    Revoir le théorème parce que c'est la méthode à utiliser mais tu le fais maladroitement...

    Duke.

  4. #4
    Mllx

    Re : Dm ts

    Citation Envoyé par Duke Alchemist Voir le message
    Bonjour.
    Que dirais-tu que la limite à l'infini d'une fonction polynomiale est celle du termes de plus haut degré ?

    Peux-tu me rappeler l'intérêt (le rôle) du calcul du discriminant ? Est-ce utile ici ?

    Il y a un problème. Si on te demande de montrer qu'il y a une solution unique sur lR c'est qu'il doit y en avoir qu'une seule (par définition de unique)...
    Revoir le théorème parce que c'est la méthode à utiliser mais tu le fais maladroitement...

    Duke.
    Que dirais-tu que la limite à l'infini d'une fonction polynomiale est celle du termes de plus haut degré ?

    [ corrigez moi si je me trompe : la limite d'un polynôme est la limite du terme du plus haut degré ]
    Donc cela donnerais : Limite en - l'infini : lim(x->-l'infini) x^3 = -l'infini
    Limite en + l'infini : lim(x->+l'infini) x^3 = +l'infini

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Mllx

    Re : Dm ts

    Peux-tu me rappeler l'intérêt (le rôle) du calcul du discriminant ? Est-ce utile ici ?
    Il est inutile de le calculer ici car on a déjà les solutions :
    soit g(x) = x^3 + 3x²+ 2
    la fonction polynomiale g est dérivable sur R, d'où :
    Pour tout x E R, g'(x) = 3x²+6x
    = x(3x+6)
    Soit x=0 ou 3x+6=0 <=> x=-6/3=-2
    (c'est bien sa ?!)

  7. #6
    Mllx

    Re : Dm ts

    Citation Envoyé par Duke Alchemist Voir le message
    Bonjour.
    Que dirais-tu que la limite à l'infini d'une fonction polynomiale est celle du termes de plus haut degré ?

    Peux-tu me rappeler l'intérêt (le rôle) du calcul du discriminant ? Est-ce utile ici ?

    Il y a un problème. Si on te demande de montrer qu'il y a une solution unique sur lR c'est qu'il doit y en avoir qu'une seule (par définition de unique)...
    Revoir le théorème parce que c'est la méthode à utiliser mais tu le fais maladroitement...

    Duke.
    Il y a un problème. Si on te demande de montrer qu'il y a une solution unique sur lR c'est qu'il doit y en avoir qu'une seule (par définition de unique)...
    Revoir le théorème parce que c'est la méthode à utiliser mais tu le fais maladroitement...
    voila mon raisonnement :

    Sur [-2 ; +00 ]
    g est continu
    g est monotone
    0 est compris entre 6=f(-2) et +00=lim(x->+00, x>0)
    donc d'après TVI g(x) n'admet pas de solution sur [-2 ; +00 ]
    car g(x) >0 sur [-2 ; +00 ]

    De plus : sur ]-00 ; -2 ]
    g est continu
    g est strictement décroissante
    0 est compris entre -00 = lim(x->-00 , x<0) et 6=f(-2)
    donc d'après TVI g(x) =0 admet une unique solution alpha sur ]-00 ; -2 ] et dans R
    car g(x) <= 0 sur ]-00 ; -2 ]

    ai-je bon ?
    cordialement
    Dernière modification par Mllx ; 20/10/2014 à 18h10.

  8. #7
    Mllx

    Re : Dm ts

    Bonjour, Y a-t-il quelqu'un qui puisse m'aider ?

  9. #8
    Duke Alchemist

    Re : Dm ts

    Bonsoir.

    Je reprends ce que tu as indiqué en précisant mes remarque en gras
    et je te proposerais d'effectuer l'étude dans le sens des valeurs croissantes.

    sur ]-00 ; -2 ]
    g est continue et strictement décroissante
    0 est compris entre -00 = lim(x->-00 , x<0) et 6=f(-2)
    donc d'après TVI g(x) =0 admet une unique solution alpha sur ]-00 ; -2 ] et dans R ... Tu ne peux pas encore le certifier pour le moment
    car g(x) <= 0 sur ]-00 ; -2 ]

    Tu as oublié l'intervalle [-2;0]

    Et enfin, tu termines par l'étude sur [0;+infini[
    sans essayer de gruger...

    Bon courage.
    Duke.

  10. #9
    Mllx

    Re : Dm ts

    Citation Envoyé par Duke Alchemist Voir le message
    Bonsoir.

    Je reprends ce que tu as indiqué en précisant mes remarque en gras
    et je te proposerais d'effectuer l'étude dans le sens des valeurs croissantes.

    sans essayer de gruger...

    Bon courage.
    Duke.
    Bonsoir, est-ce bien cela?

    sur ]-00 ; -2 ]
    g est continu
    g est strictement croissante
    0 est compris entre -00 = lim(x->-00 , x<0) et 6=f(-2)
    donc d'après TVI g(x) =0 admet une unique solution alpha sur ]-00 ; -2 ]


    De plus : sur ]-2 ; 0 ]
    g est continu
    g est strictement décroissante
    0 est compris entre 2=f(0) et 6=f(-2)
    donc d'après TVI g(x) n' admet pas de solution sur ]-00 ; -2 ]

    Et sur [0 ; +00 [
    g est continu
    g est strictement croissante
    0 est compris entre +00 = lim(x->+00 , x>0) et 2=f(0)
    donc d'après TVI g(x) n'admet pas de solution sur ]-00 ; -2 ]

  11. #10
    Mllx

    Re : Dm ts

    3- Tableau de variation de f

    a) Étudier les limite de f aux bornes de son ensemble de définition
    b) Dresser, en justifiant, le tableau de variation de f


    a) lim (x-> -00) f(x) = -00
    lim (x-> +00) f(x) = +00
    lim (x-> -1, x<-1 ) f(x) = -00
    lim (x-> -1,x>-1) f(x) = -00

    b)
    x| -00 | | -1 | | 1 | | +00
    x^3-1| | + + | 0 | +
    (x+1)²| | + | 0 | + +
    f(x)| | + || + | 0 | +
    Désoler mon tableau de signe est peu lisible
    donc f(x) est croissante sur ]-00;-1[U]-1;+00[

    Ai-je juste ?
    Dernière modification par Mllx ; 23/10/2014 à 20h18.

  12. #11
    Duke Alchemist

    Re : Dm ts

    Bonsoir.
    Citation Envoyé par Mllx Voir le message
    sur ]-00 ; -2 ]
    g est continu
    g est strictement croissante
    0 est compris entre -00 et 6
    donc d'après TVI g(x) =0 admet une unique solution alpha sur ]-00 ; -2 ]


    De plus : sur ]-2 ; 0 ]
    g est continu
    g est strictement décroissante
    0 n'est pas compris entre 2 et 6
    donc d'après TVI g(x) n' admet pas de solution sur ]-00 ; -2 ]

    Et sur [0 ; +00 [
    g est continu
    g est strictement croissante
    0 n'est pas compris entre 2 et +00
    donc d'après TVI g(x) n'admet pas de solution sur ]-00 ; -2 ]
    En gras mes propositions de modification.
    Cesse de mettre x>0 ou x<0 avec x qui tend respectivement vers +infini et -infini !
    N'oublie pas la conclusion (c'est-à-dire la réponse à la question).

    Pour l'étude de f, vois si ta calculatrice est d'accord.
    Là, je n'ai pas le temps de vérifier...

    Duke.
    Dernière modification par Duke Alchemist ; 23/10/2014 à 21h49.

  13. #12
    Mllx

    Re : Dm ts

    Citation Envoyé par Duke Alchemist Voir le message
    Bonsoir.
    En gras mes propositions de modification.
    Cesse de mettre x>0 ou x<0 avec x qui tend respectivement vers +infini et -infini !
    N'oublie pas la conclusion (c'est-à-dire la réponse à la question).

    Pour l'étude de f, vois si ta calculatrice est d'accord.
    Là, je n'ai pas le temps de vérifier...

    Duke.
    Merci pour votre aide , mais j'aurais une dernière question pour la question 2.c) Montrer que l'equation g(x)=0 possède une unique solution alpha dans R
    donner une valeur approchée de alpha a 10^-2 prés
    d) en deduire le signe de g(x) suivant les valeurs de x

    c) la conclusion serai que g(x)=0 admet une unique solution alpha dans R
    Mais la valeur de alpha je ne vois pas comment faire si ce n'est que trouver un encadrement de alpha a 10^-2 prés c''est ce que
    j'ai fait :

    comme f(-3.2)<0 et f(-3.19) >0
    0 est compris entre les 2 valeurs
    donc -3.2<alpha<-3.19
    [ mais l'on me demande la valeur de alpha : dois-je effectuer ce calcule : (-3.2+(-3.19))/2 = -3.195 ]


    d) g(x) <0 <=> x E ]-00 ; alpha [
    g(x) > 0 <=> x E ] alpha ; +00[
    g(x) = 0 <=> x = alpha

  14. #13
    Duke Alchemist

    Re : Dm ts

    Bonsoir.

    C'est l'une des deux valeurs.
    Regarde la valeur avec 3 décimales puis arrondis à deux décimales en fonction de cette valeur.

    Duke.

  15. #14
    Mllx

    Re : Dm ts

    Citation Envoyé par Duke Alchemist Voir le message
    Bonsoir.

    C'est l'une des deux valeurs.
    Regarde la valeur avec 3 décimales puis arrondis à deux décimales en fonction de cette valeur.

    Duke.
    si j'ai bien compris ce que vous dite , si je regarde l'intervalle de alpha à 10-3 j'obtient sa : -3.196<alpha<-3.195
    donc par conséquent alpha = -3.19 "????"
    Mais pourrait-on rédiger sa ?! pourriez vous m'aider ?

    cordialement

  16. #15
    Duke Alchemist

    Re : Dm ts

    Bonsoir.

    Personnellement, j'opterais plus pour -3,20 que -3,19 en arrondissant.
    La rédaction pourrait tenir en ce que tu proposes. Je pense que sur le net tu trouveras bien une phrase toute faite pour ce genre de question qui est plutôt classique.

    Duke.

  17. #16
    Mllx

    Re : Dm ts

    Citation Envoyé par Duke Alchemist Voir le message
    Bonsoir.

    Personnellement, j'opterais plus pour -3,20 que -3,19 en arrondissant.
    La rédaction pourrait tenir en ce que tu proposes. Je pense que sur le net tu trouveras bien une phrase toute faite pour ce genre de question qui est plutôt classique.

    Duke.
    d'acord merci,

    En fait maintenant, il y un autre truc qui me bloque pour terminer mon DM , c'est sur les 2 derniere question j'ai 2,3 petite piste mais lorsque je vais jusqu'à la fin de mon raisonnement tout est faut je tombe pas sur les bons résultat ( en vérifiant sur la calculette) , et cela me trouble énormément cela fait plus de 2 jours que je bloque à ce niveau .
    Aurez-il quelqu'un qui puisse m'aider ? please !!

    3- Tableau de variation de f

    a) Étudier les limite de f aux bornes de son ensemble de définition
    b) Dresser, en justifiant, le tableau de variation de f
    j'ai tout refait de nouveau d'une autre façon, en supposons que les questions aux quelles j'ai répondu doivent m'aider à répondre a cette question !

    sachant que f= (x^3 -1 )(x²+2x+1)
    et pour étudiez sont signe en effectuent la dérivé d'après moi donc sa donne : f'= (x^3 +3x²+2)/(x+1)^3 = (g(x))/(x+1)^3


    a) limite de f en -00
    lim (x-> -00) f = Forme indéterminée donc on lève l'indétermination
    = [(x^3)(1-(1/x^3)]/[(x²)(1+(2/x)+(1/x²)]
    Par quotient puis par somme limite(x->-00) [(x^3)(1-(1/x^3)] = -00
    et limite(x->-00) [(x²)(1+(2/x)+(1/x²)] = +00
    [????? Bazarre non ? limite(x->-00) f = ... 00


    Limite en +00

    Par quotient puis par somme limite(x->+00) [(x^3)(1-(1/x^3)] = +00
    et limite(x->-00) [(x²)(1+(2/x)+(1/x²)] = +00

    bizarre aussi non ?

    limite en -1:

    lim(x->-1 avec x<-1)
    d'où par produit, lim (x->-1 avec x<-1) x^3 = -1
    par somme , lim (x->-1 avec x<-1) (x^3-1) = -2

    de plus lim (x->-1 avec x<-1) (x+1)² = 0
    signe de (x+1)² , signe de a donc toujours + de -00 à +00 et en s'annulant en -1
    De plus, lorsque x<-1
    (x+1)² est tjrs +
    donc lim (x->-1 avec x<-1) (x+1)² = 0+
    conclusion par quotient lim (x->-1 avec x<-1) f(x) = -00
    [???]
    * de plus par porduit puis par somme lim (x->-1 avec x>-1) (x^3-1) = -2
    * et par produit lim (x->-1 avec x>-1) (x+1)² = 0
    De plus , lorsque x>-1
    (x+1)² est tjrs +
    donc lim (x->-1 avec x>-1) (x+1)² = 0+
    [??]

    conclusion par quotient lim (x->-1 avec x>-1) f(x) = -00

    [???] bizarre que je trouve sa ?


    Voila pour le a) je peux pas m'avancer dans l'autre question vu que je bloque la !!
    Pourriez-vous prendre le temps de lire ce que j'ai écrit et de me corrigé car je suis largué la franchement !
    Cordialement

  18. #17
    Duke Alchemist

    Re : Dm ts

    Bonjour.

    Je reprends l'ensemble de l'exercice concernant les limites où il y a pas mal de choses à revoir...

    Citation Envoyé par Mllx Voir le message
    Soit f la fonction définie par f(x) = ( x^3 - 1 ) / ( x² +2x + 1 )
    ...
    2- Etude d'une fonction auxiliaire
    soit g la fonction définie sur R par g(x) = x^3 + 3x² +2

    a) Étudier les limite en - l'infini et en + l'infini
    Comme je te l'avais indiqué précédemment, dans un polynôme, il suffit d'étudier la limite à l'infini du terme de plus haut degré :
    .
    Tu fais la même chose en

    ou, ce qui est équivalent, c'est la mise en facteur comme tu l'as faite par la suite de ton message :
    g(x) = x^3 ( 1+ (3x²/x^3) + (2/x^3 ) )
    Lim (x-> - l'infini ) ( 1+ (3x²/x^3) + (2/x^3 ) ) = 1
    et par produit , Lim (x-> - l'infini ) g(x) = - l'infini

    Étude de la limite en + l'infini
    Par produit, Lim(x-> + l'infini ) x^3 = +l'infini
    Par produit puis par somme , Lim(x-> + l'infini ) x^3 +3x²+2 = + l'infini
    ...
    3- Tableau de variation de f

    a) Étudier les limite de f aux bornes de son ensemble de définition
    b) Dresser, en justifiant, le tableau de variation de f

    sachant que f= (x^3 -1 )(x²+2x+1)
    et pour étudier son signe en effectuant la dérivée d'après moi donc ça donne : f'(x) = (x^3 +3x²+2)/(x+1)^3 = (g(x))/(x+1)^3
    De cette expression, tu peux déduire le signe de f'(x) puisque tu as étudié la fonction g et que le signe de (x+1)3 n'est pas trop difficile à étudier.

    a) limite de f en -00
    lim (x-> -00) f = Forme indéterminée donc on lève l'indétermination
    = [(x^3)(1-(1/x^3)]/[(x²)(1+(2/x)+(1/x²)]
    Par quotient puis par somme limite(x->-00) [(x^3)(1-(1/x^3)] = -00
    et limite(x->-00) [(x²)(1+(2/x)+(1/x²)] = +00
    [????? Bizarre non ? limite(x->-00) f = ... 00

    Limite en +00
    Par quotient puis par somme limite(x->+00) [(x^3)(1-(1/x^3)] = +00
    et limite(x->-00) [(x²)(1+(2/x)+(1/x²)] = +00
    bizarre aussi non ?
    Tes résultats sont corrects mais pourquoi doutes-tu autant ?
    Mais écrit comme ça, cela peut gêner en effet.
     Cliquez pour afficher


    Je reviens plus tard pour la suite
    Duke.

  19. #18
    Mllx

    Re : Dm ts

    Citation Envoyé par Duke Alchemist Voir le message
    Bonjour.

    Je reprends l'ensemble de l'exercice concernant les limites où il y a pas mal de choses à revoir...

    Comme je te l'avais indiqué précédemment, dans un polynôme, il suffit d'étudier la limite à l'infini du terme de plus haut degré :
    .
    Tu fais la même chose en

    ou, ce qui est équivalent, c'est la mise en facteur comme tu l'as faite par la suite de ton message :


    De cette expression, tu peux déduire le signe de f'(x) puisque tu as étudié la fonction g et que le signe de (x+1)3 n'est pas trop difficile à étudier.

    Tes résultats sont corrects mais pourquoi doutes-tu autant ?
    Mais écrit comme ça, cela peut gêner en effet.
     Cliquez pour afficher


    Je reviens plus tard pour la suite
    Duke.

    bonsoir, alors je pense avoir compris dite moi si je me trompe :


    Sachant que , en infini, une fonction rationnelle à même limite que le quotient des mônomes de + haut degré du numérateur et du dénominateur
    On a limite en
     Cliquez pour afficher
    :

     Cliquez pour afficher


    Limite en
     Cliquez pour afficher
    :

    et
     Cliquez pour afficher



    Ensuite il faut étudier les limite lorsque x<-1 et quand x>-1

  20. #19
    Mllx

    Re : Dm ts

    Ensuite il faut étudier les limite lorsque x<-1 et quand x>-1

    limite en -1:

    lim(x->-1 avec x<-1)
    d'où par produit, lim (x->-1 avec x<-1) x^3 = -1
    par somme , lim (x->-1 avec x<-1) (x^3-1) = -2

    de plus lim (x->-1 avec x<-1) (x+1)² = 0
    signe de (x+1)² , signe de a, donc toujours + de -00 à +00 et en s'annulant en -1
    De plus, lorsque x<-1
    (x+1)² est tjrs +
    donc lim (x->-1 avec x<-1) (x+1)² = 0+
    conclusion par quotient lim (x->-1 avec x<-1) f(x) = -00

    * de plus par porduit puis par somme lim (x->-1 avec x>-1) (x^3-1) = -2
    * et par produit lim (x->-1 avec x>-1) (x+1)² = 0
    De plus , lorsque x>-1
    (x+1)² est tjrs +
    donc lim (x->-1 avec x>-1) (x+1)² = 0+


    conclusion par quotient lim (x->-1 avec x>-1) f(x) = -00

    Ainsi, lim (x->-1 avec x<-1) f(x) = lim (x->-1 avec x>-1) f(x) = -00

    Mais si elles sont = , ca veut dire que "f" est continu or ce n'est pas le cas ?
    je pense que je me mélange un peu les pinceaux ...
    Cordialement.

  21. #20
    Duke Alchemist

    Re : Dm ts

    Re-

    OK.

    En -1, le numérateur tend vers -2, on est d'accord. Bien retenir que -2 est un nombre .?.
    Le dénominateur, lui, tend vers 0. Le but est de savoir si c'est 0+ ou 0-.
    La limite sera alors l'infini... + ou -, à toi de me le dire

    Duke.

  22. #21
    Duke Alchemist

    Re : Dm ts

    Re-
    Citation Envoyé par Mllx Voir le message
    Mais si elles sont = , ca veut dire que "f" est continu or ce n'est pas le cas ?
    je pense que je me mélange un peu les pinceaux ...
    Cordialement.
    n'est pas égal à

    As-tu tracé la courbe sur ta calculatrice (sans oublier de parenthèses bien entendu) afin de visualiser et de vérifier si ton résultat est cohérent ?

    Duke.

  23. #22
    Mllx

    Re : Dm ts

    Citation Envoyé par Duke Alchemist Voir le message
    Re-

    OK.

    En -1, le numérateur tend vers -2, on est d'accord. Bien retenir que -2 est un nombre .?.
    Le dénominateur, lui, tend vers 0. Le but est de savoir si c'est 0+ ou 0-.
    La limite sera alors l'infini... + ou -, à toi de me le dire

    Duke.
    Ok, donc :

    Par produit puis par somme , lim(x->-1 avec x<-1) (x^3 -1 ) = -2
    d'où le numérateur tend vers -2
    De plus par produits , lim(x->-1 avec x<-1) (x+1)²=0
    Et sachant que (x+1)² est tjrs positive lorsque x<-1:
    on a lim(x->-1 avec x<-1) (x+1)²=0+
    pour conclure : par quotient lim(x->-1 avec x<-1) f(x) = -00
    et
    Par produit puis par somme , lim(x->-1 avec x<-1) (x^3 -1 ) = -2
    et le numérateur tend vers -2
    De plus par produits , lim(x->-1 avec x<-1) (x+1)²=0
    Et sachant que (x+1)² est tjrs positive lorsque x>-1:
    on a lim(x->-1 avec x<-1) (x+1)²=0+
    pour conclure par quotient on a
    lim(x->-1 avec x>-1) f(x) = -00

    Est-ce que j'ai juste ?

  24. #23
    Mllx

    Re : Dm ts

    Citation Envoyé par Duke Alchemist Voir le message
    Re- n'est pas égal à

    As-tu tracé la courbe sur ta calculatrice (sans oublier de parenthèses bien entendu) afin de visualiser et de vérifier si ton résultat est cohérent ?

    Duke.
    oui mon resultat correspond à ce que je trouve (enfin je crois) sur la calculette car à la calculette je trouve que + en s'approche de -1 f(x) tend vers -00 quand x<-1 et -00 quand x>-1
    une courbe sur la calculette on la lis bien de gauche a droite ?
    Dernière modification par Mllx ; 31/10/2014 à 18h41.

  25. #24
    Duke Alchemist

    Re : Dm ts

    Re-

    Eh bien tu lis sur ta calculatrice comme tu lis ton tableau de variation

    Duke.

  26. #25
    Mllx

    Re : Dm ts

    Citation Envoyé par Duke Alchemist Voir le message
    Re-

    Eh bien tu lis sur ta calculatrice comme tu lis ton tableau de variation

    Duke.
    J'ai juste alors ?!

  27. #26
    Duke Alchemist

    Re : Dm ts

    Re-

    Pour moi, cela correspond bien.


    Bilan : pense bien aux termes de plus haut degré pour les formes polynomiales ou pour les fonctions rationnelles; cela simplifie beaucoup les calculs pour les soi-disant formes indéterminées.

    Bonne continuation.

    Cordialement,
    Duke.

  28. #27
    Mllx

    Re : Dm ts

    Citation Envoyé par Duke Alchemist Voir le message
    Re-

    Pour moi, cela correspond bien.


    Bilan : pense bien aux termes de plus haut degré pour les formes polynomiales ou pour les fonctions rationnelles; cela simplifie beaucoup les calculs pour les soi-disant formes indéterminées.

    Bonne continuation.

    Cordialement,
    Duke.
    D'accord merci pour votre aide
    Cordialement