Suites U(n) et V(n) + Récurrence

[kilouxa]

Bonjour, J'e suis actuellement en TS et nous avons démarrez l'année avec les suites (et plus précisément avec la recurrence)

Mais voila je bloque sur un exercice :

On considère les suites U(n) et V(n) définies par U(0)=2 et pour tout n de N.

U(n+1) = 5U(n) - 3 / U(n)+1
et V(n) = U(n) - 3 / U(n) - 1

1- Conjecturer une formule explicite pour V(n). (Il faut que je calcule V(0) , V(1) et V(2) puis en déduire V(n) ).
2 - En déduire une conjecture pour U(n). (La je bloque :/ je ne sais pas comment faire).
3 - La démontrer. (Avec le théorème de recurrence ?)


Merci infiniment de votre aide, Kilouxa
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[invite8241b23e]

Salut !

Pour les formules, tu aurais pas oublié des parenthèses ? Ca pourrait rendre l'ensemble plus lisible.

Pour la question 1, tu peux nous dire ce que tu as trouvé STP ?

[kilouxa]

Bah y'a pas d'autres parentheses ,

U(n+1) = [ 5U(n) - 3 ] / [ U(n)+1 ]
et V(n) = [ U(n) - 3 ] / [ U(n) - 1 ]

Voici une photo de l'exercice : IMG_1093.jpg

J'ai trouvé pour le 1) :

V(0) = -1
V(1) = -2/4 = -0,5
v(2) = -4/16 = -0,25

Donc on peut conjecturer l'expression de V(n) en f(n) soit V(n) = -1/(2^n)

EDIT : je ne sais pas pourquoi l'image est a l'envers :/

[PlaneteF]

Bonsoir,

Pour les formules, tu aurais pas oublié des parenthèses ? Ca pourrait rendre l'ensemble plus lisible.

Dans le cas présent, le premier objectif de mettre des parenthèses c'est d'abord d'avoir une écriture correcte, c'est-à-dire non fausse, ... la lisibilité elle, elle vient ensuite


Rappel pour kilouxa : https://fr.wikipedia.org/wiki/Ordre_des_op%C3%A9rations


Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[kilouxa]

euh ... je peux savoir ou est l'erreur ?

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Ne vois-tu pas la différence entre

U(n+1) = 5U(n) - 3 / U(n)+1
et V(n) = U(n) - 3 / U(n) - 1

et

U(n+1) = [ 5U(n) - 3 ] / [ U(n)+1 ]
et V(n) = [ U(n) - 3 ] / [ U(n) - 1 ]

Que tu as écrit toi-même...

Que dirais-tu de remplacer v(n) par ce que tu as trouvé ?

Duke.

[PlaneteF]

euh ... je peux savoir ou est l'erreur ?

L'erreur c'est qu'en ne mettant pas de parenthèses toi tu as écrit :




Même problème pour ton écriture de


--> C'est la division qui est prioritaire sur l'addition et la soustraction, ... et non pas l'inverse.


Cdt

[kilouxa]

Bah c'est pour sa qu'après j'ai mis les crochets :/

[kilouxa]

Pour le 2) il faut que j'isole U(n) et que je remplace V(n) par la conjecture du 1) ?

[PlaneteF]

Pour le 2) il faut que j'isole U(n) et que je remplace V(n) par la conjecture du 1) ?

Tout simplement et tout naturellement !

Cdt

[kilouxa]

Il faut donc démontrer que U(n) = ((-1/2^n) - 3) / ((-1/2^n) - 1)
Donc on applique le théorème de récurrence et on obtient :

U(n+1) = ( (-1/2^(n+1)) - 3) / ((-1/2^(n+1)) - 1)

mais comment faire après pour retrouver l'expression d' U(n+1) du début : [ 5U(n) - 3 ] / [ U(n)+1 ] ?

[PlaneteF]

Il faut donc démontrer que U(n) = ((-1/2^n) - 3) / ((-1/2^n) - 1)

Il y a des signes "moins" partout et toi tu laisses le résultat comme ça ... Par ailleurs tu peux multiplier numérateur et dénominateur par pour avoir moins de fractions.

Cdt

[PlaneteF]

Donc avec ces simplifications, pour l'hérédité du raisonnement par récurrence, je te fais l'amorce :

Hypothèse de récurrence : Soit . Supposons que

Démontrons que :


Or par définition on a :

Maintenant dans cette expression tu remplaces par son expression issue de l'hypothèse de récurrence.

Yapuka

Cdt

[kilouxa]

Je comprend pas comment vous passer de

U(n) = ((-1/2^n) - 3) / ((-1/2^n) - 1) à

[PlaneteF]

Je comprend pas comment vous passer de

U(n) = ((-1/2^n) - 3) / ((-1/2^n) - 1) à

Cf. message#12. Que puis-je dire de plus ?

Cdt