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Comment trouver un triplet pythagoricien ayant un côté donné?



  1. #1
    geometrodynamics_of_QFT

    Comment trouver un triplet pythagoricien ayant un côté donné?


    ------

    Bonjour,

    Je me pose la question suivante:
    Existe-t-il un moyen de trouver un triplet pythagoricien lorsqu'on nous donne un de ses côtés? (pas l'hypothénuse, mais un des deux autres côtés).
    La contrainte est qu'on ne connait pas les diviseurs de ce côté.
    Par exemple, si je vous donne 13 ou 15...comment trouver tous les triplets pythagoriciens qui ont ce côté? Ou comment savoir combien il y en a qui ont ce côté?

    Je vous remercie pour vos réponses!

    -----

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  3. #2
    Dynamix

    Re : Comment trouver un triplet pythagoricien ayant un côté donné?

    Salut

    Il suffit de décomposer le carré de ce coté en deux facteurs différents , tous les deux pairs ou tous les deux impairs .

    Début de démonstration :
    A² = H²-B²
    Identité remarquable ....
    ....

    Je te laisse le plaisir et la joie de trouver la suite .

  4. #3
    Médiat

    Re : Comment trouver un triplet pythagoricien ayant un côté donné?

    Bonjour,

    Connaissez-vous les formules des triplets pythagoriciens ?

    Si oui, les réponses reposent sur le nombre de diviseurs du nombre en question et de sa parité

    [EDIT]Grillé
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  5. #4
    geometrodynamics_of_QFT

    Re : Comment trouver un triplet pythagoricien ayant un côté donné?

    Bonjour,

    merci pour la réponse.

    Prenons par exemple 15 :
    15² = 225 = H²-B² = (H+B)(H-B)

    suis-je plus avancé? Coment trouver H et B?

  6. #5
    geometrodynamics_of_QFT

    Re : Comment trouver un triplet pythagoricien ayant un côté donné?

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Bonjour,

    Connaissez-vous les formules des triplets pythagoriciens ?

    Si oui, les réponses reposent sur le nombre de diviseurs du nombre en question et de sa parité

    [EDIT]Grillé
    Oui je connais les formules (Euclide, Platon, pythagore, méthode de Dickson, méthode de Fibonacci, arbre de triplets obtenus par multiplication matricielle, etc...)
    Et ma question initiale précise qu'on ne connait pas les diviseurs du côté en question.
    Concernant sa parité, on peut poser qu'il est impair (on sait alors que l'autre côté sera pair)
    Dernière modification par geometrodynamics_of_QFT ; 28/10/2015 à 14h42.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Dynamix

    Re : Comment trouver un triplet pythagoricien ayant un côté donné?

    Citation Envoyé par geometrodynamics_of_QFT Voir le message
    Coment trouver H et B?
    (H+B) et (H-B) sont deux nombres entiers qui divisent A²
    Par exemple
    225 = 5*45
    A résoudre :
    H-B =5
    H+B = 45

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  10. #7
    Médiat

    Re : Comment trouver un triplet pythagoricien ayant un côté donné?

    Ou H+B = 225 et H-B = 1, comme cela pas besoin de connaître les diviseurs (cela semble être une contrainte)
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  11. #8
    geometrodynamics_of_QFT

    Re : Comment trouver un triplet pythagoricien ayant un côté donné?

    Bonjour,

    suis-je bête?
    Car en résolvant ce système, j'obtiens:

    H-B = 5 ==> H=5+B
    H+B = (5+B) + B = 5+2B = 45 ==> B=20 ==> H = 25.

    ce qui donne le triplet (15, 20, 25)...
    hum...
    Dernière modification par geometrodynamics_of_QFT ; 28/10/2015 à 14h52.

  12. #9
    Dynamix

    Re : Comment trouver un triplet pythagoricien ayant un côté donné?

    C' est LA solution commune à tous les nombres impairs .

  13. #10
    geometrodynamics_of_QFT

    Re : Comment trouver un triplet pythagoricien ayant un côté donné?

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Ou H+B = 225 et H-B = 1, comme cela pas besoin de connaître les diviseurs (cela semble être une contrainte)
    En effet, mais cette solution est "triviale", et donne toujours un triplet où H=B+1.

    Elle correspond à la factorisation de 15 comme 15=15*1 = (8+7)*(8-7) = 8²-7²

    qui donne automatiquement B = 2*8*7 et H = 8²+7².

    Par ailleurs, la solution de Dynamix ne donne pas un triplet primitif (j'ai oublié de le présiser...désolé)

    donc je reformule la question :

    Comment trouver un triplet primitif en connaissant un côté impair?
    Et que ce triplet ne soit pas "trivial" dans le sens où si ce côté est A, on sait que A=A*1=[(A+1)/2]² - [(A-1)/2]², ce qui donne le triplet primitif trivial ([(A+1)/2]² - [(A-1)/2]², 2*[(A+1)/2]*[(A-1)/2], [(A+1)/2]² + [(A-1)/2]²)
    Et comment savoir combien en existe-t-il?

    Je vous remercie encore!
    Dernière modification par geometrodynamics_of_QFT ; 28/10/2015 à 15h05.

  14. #11
    geometrodynamics_of_QFT

    Re : Comment trouver un triplet pythagoricien ayant un côté donné?

    Bonjour,

    dois-je en déduire qu'il n'existe pas de méthode?
    Ni pour trouver un triplet pythagoricien primitif (non trivial) possédant un certain côté impair, ni pour en calculer le nombre?
    (Sans avoir recour aux diviseurs de ce côté entier)
    Je vous remercie!

    PS : par trivial, j'entends :
    Soit A le côté impair.
    On définit M (pour "milieu") = (A+1)/2
    On définit D (pour "décalage") = (A-1)/2
    On a donc A = A*1 = (M+D)(M-D)=M²-D²
    Donc le triplet trivial est (M²-D², 2MD, M²+D²) = (A, 2MD, M²+D²)
    Dernière modification par geometrodynamics_of_QFT ; 28/10/2015 à 19h19.

  15. #12
    hubert.sansot

    Re : Comment trouver un triplet pythagoricien ayant un côté donné?

    reprendre la formule de base :
    x,y,z est un triplet primitif pythagoricien avec x impair. on sait que l'un des autres termes est pair.

    alors il existe (i,j) entiers premier entre eux, l'un des deux étant pair, et i>j, tels que
    x = i²-j²
    y = 2ij
    z = i²+j²

    sauf cas très particulier, si un côté x, y ou z est connu, il y a pas mal de solutions...
    supposons la valeur recherchée connue et paire, écrire Y = 2ij. Si Y n'est pas divisible par 4, il n'y aura pas de solution. Si oui, utiliser toutes les factorisations permettant de définir i et j conformes à la définition. Si Y n'est pas divisible par 4, la diviser par 2 et rechercher la solution ci-après. il faudra multiplier le triplet par 2 in fine.
    Si la valeur recherchée est impaire, écrire X = i²-j². il y a forcément une solution au moins! il suffit de poser f(j) = (X+j²)^0,5 et de chercher avec le bon vieux excel la solution... D'autres fourniront une méthode plus subtil pour cela éventuellement.

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  17. #13
    OY1951

    Re : Comment trouver un triplet pythagoricien ayant un côté donné?

    Ah si je savais résoudre une équation de type x=y^2-z^2 (x , y et z sont dans N
    et x est produit de deux nombre premiers p et q !!!) il y a longtemps
    que j'aurais cassé le RSA!!!!!!!!
    Cordialement.

  18. #14
    hubert.sansot

    Re : Comment trouver un triplet pythagoricien ayant un côté donné?

    En fait il ne faut pas chercher
    " x=y^2-z^2 (x , y et z sont dans N
    et x est produit de deux nombre premiers p et q)"

    Car dans notre cas, il y a juste p et q premiers entre eux, ce semble assez différent.

    Si on veut une méthode plus générale que la calculette ou excel pour trouver cela, pour trouver un triplet pythagorien dans le cas où un côté (hors hypothenus) est impair, voici une première possibilité.
    il faut résoudre, X = i²-j², avec i>j et i, j premiers entre eux (cette dernière condition ne donne que des triplets primitifs, ce qui n'est pas la demande initiale)

    Ecrire, i = j+1. cela fournit une première solution.
    x = 2j +1. avec j = (X-1)/2

    On peut en trouver environ (X-1)/2 solution en écrivant i = j+k, k impair et
    J'espère que cela satisfera notre demandeur initial.

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