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TERMINAL S DM MATHS : Exponentielle "avec une fonction auxilliaire"




  1. #1
    soltas

    Exclamation TERMINAL S DM MATHS : Exponentielle "avec une fonction auxilliaire"

    Bonjour, j'ai un DM de maths à rendre pour demain.

    Voici l'énoncé : Soit f la fonction définie sur [0 ; +infini[ par :
    f(x) = (xe^-x)/(x²+1)

    1) On considère la fonction g définie sur [0 ; +infini[ par :
    g(x) = x^3+x²+x-1
    Établir que l'équation g(x) = 0 admet une solution unique "alpha" dans l'intervalle [0;1] et que g(x) > 0 sur [1 ; +infini[ .
    En déduire le signe de g(x) sur [0 ; +infini[ .

    2) a) Montrer que pour tout x de [0 ; +infini[ , f'(x) et g(x) sont de signes contraires.
    b) En déduire les variations de f sur [0 ; +infini[.

    Je bloque à la question 2)a)
    j'ai un problème pour calculer f'(x)

    f(x) = (xe^-x)/(x²+1)

    f'(x) = (u'v)-(uv')/(v)^2
    avec : (j'ai calculé u' avec la formule du produit)
    u = e^-x
    u' = xe^-x
    v = x^2 + 1
    v' = 2x

    ce qui me donne : [e^-x(x^2+1) - (xe^-x)(2x)] / (x^2 +1)^2
    =[(x^2e^-x) +( e^-x) - (2x^2e^-x)] / (x^2 +1)^2

    Et la je bloque. Je n'arrive pas à prouver que f'(x) et g(x) sont de signes contraires.
    Merci d'avance pour votre aide !

    -----


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  3. #2
    ansset

    Re : TERMINAL S DM MATHS : Exponentielle "avec une fonction auxilliaire"

    Citation Envoyé par soltas Voir le message
    f'(x) = (u'v)-(uv')/(v)^2
    avec : (j'ai calculé u' avec la formule du produit)
    u = e^-x
    u' = xe^-x

    v = x^2 + 1
    v' = 2x

    !
    c'est ça qui est faux
    u=xe^(-x) qui est un produit, donc
    u'= ?
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  4. #3
    soltas

    Re : TERMINAL S DM MATHS : Exponentielle "avec une fonction auxilliaire"

    Merci pour ta réponse, j'ai un doute, c'est : u' = e^-x + xe^-x

    ou u' = e^-x +x - e^-x ?

    j'ai un peu du mal avec les dérivées
    Dernière modification par soltas ; 22/11/2015 à 11h09.


  5. #4
    ansset

    Re : TERMINAL S DM MATHS : Exponentielle "avec une fonction auxilliaire"

    Il y a une erreur de signe pour le deuxième terme.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  6. #5
    soltas

    Re : TERMINAL S DM MATHS : Exponentielle "avec une fonction auxilliaire"

    u' = e^-x +x - e^-x ?

    désolée, j'ai un peu du mal avec les dérivées !

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    ansset

    Re : TERMINAL S DM MATHS : Exponentielle "avec une fonction auxilliaire"

    oui, je vois.
    pourquoi +x-e^(-x)
    d'où vient ce signe - ?
    il n'y avait qu'un signe à changer dans ta dérivée précédente.
    a condition que tu vois pourquoi..
    quelle est la dérivée de e^(-x) ???
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  9. #7
    soltas

    Re : TERMINAL S DM MATHS : Exponentielle "avec une fonction auxilliaire"

    je vais essayer de détailler, mais je pense avoir compris mon erreur !

    u = x
    u' = 1
    v = e^-x
    v' = -e^-x

    f'(x) = (e^-x) + (-xe^-x)
    = e^-x - xe^-x

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  11. #8
    ansset

    Re : TERMINAL S DM MATHS : Exponentielle "avec une fonction auxilliaire"

    oui, c'est ça !
    il te reste maintenant à reprendre ton développement initial pour le calcul de la dérivée globale.
    tu devrais voir apparaitre un polynome très "sympa" au numérateur.
    courage
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  12. #9
    ansset

    Re : TERMINAL S DM MATHS : Exponentielle "avec une fonction auxilliaire"

    attention juste à l'ecriture car tu ecris f'(x), qui n'est pas le f' de ton exercice,
    mais ça tu le sais.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  13. #10
    ansset

    Re : TERMINAL S DM MATHS : Exponentielle "avec une fonction auxilliaire"

    je veux dire que là, tu as calculé le u' de ton exercice principal, on est d'accord ?
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  14. #11
    soltas

    Re : TERMINAL S DM MATHS : Exponentielle "avec une fonction auxilliaire"

    J'ai juste une dernière question parce que je vois -g(x) apparaitre implicitement mais je ne sais pas comment je suis censée le rédiger ou l'expliquer

    donc j'ai pour la dérivée :
    u = xe^-x
    u' = e^-x - xe^-x
    v = x^2 + 1
    v' = 2x

    au numérateur j'obtiens :
    (e^-x - xe^-x)(x^2+1) - (2x)(xe^-x)
    = x^2e^-x + e^-x - x^3e^-x - xe^-x - 2x^2e^-x
    = -x^3e^-x -x^2e^-x -xe^-x + e^-x

    et j'ai au dénominateur : (x^2 + 1)^2

    Je vois bien qu'on a -g(x) mais du coup, comment je peux enlever les "exponentielles" pour avoir parfaitement -g(x) ?

    Et ce que j'ai le droit d'écrire avec tout ca :

    f'(x) = (-g(x)e^-x ) / (x^2 + 1)^2

    Merci beaucoup !!

  15. #12
    ansset

    Re : TERMINAL S DM MATHS : Exponentielle "avec une fonction auxilliaire"

    Citation Envoyé par soltas Voir le message
    Et ce que j'ai le droit d'écrire avec tout ca :

    f'(x) = (-g(x)e^-x ) / (x^2 + 1)^2

    Merci beaucoup !!
    oui, c'est même une bonne manière de l'écrire.
    mais pourquoi veux tu faire disparaitre e(-x).
    la question posée porte sur la comparaison des signes de f' et de g.
    et tu connais le signe d'une exponentielle tout comme celui de (1+x²)².
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  16. #13
    soltas

    Re : TERMINAL S DM MATHS : Exponentielle "avec une fonction auxilliaire"

    Oui j'ai fini, et mieux encore , j'ai compris. Merci beaucoup pour votre aide, vraiment !

  17. #14
    ansset

    Re : TERMINAL S DM MATHS : Exponentielle "avec une fonction auxilliaire"

    de rien,
    en espérant que tu ais bien répondu à la question 1) sur les signes de g(x) !
    Cdt
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  18. #15
    ansset

    Re : TERMINAL S DM MATHS : Exponentielle "avec une fonction auxilliaire"

    si jamais tu reviens.
    la question 1) n'est pas anodine.
    en effet :
    g(0)=-1 et g(1)=2
    par ailleurs tu peux montrer que g'(x) est tj > 0
    donc g est tj croissante et ne peut s'annuler qu'en un seul point a entre 0 et 1
    le signe de g change donc entre 0 et a , puis entre a et l'infini. ( négatif , puis positif )
    il en va donc de même pour les variations de f. ( à l'inverse bien sur )
    Dernière modification par ansset ; 22/11/2015 à 13h19.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  19. #16
    soltas

    Re : TERMINAL S DM MATHS : Exponentielle "avec une fonction auxilliaire"

    J'avais déjà fait cela et j'ai fait :
    on sait que g(x) est positif sur [a ; +inf[ et négatif sur ]-inf ; a]
    donc f(x) croissante sur ]-inf ; a] et décroissante sur [a ; +inf[

    Merci encore !

  20. #17
    ansset

    Re : TERMINAL S DM MATHS : Exponentielle "avec une fonction auxilliaire"

    attention, on ne s'interesse qu'à l'intervalle 0,+l'inf....
    sinon, c'est faux !
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  21. #18
    ansset

    Re : TERMINAL S DM MATHS : Exponentielle "avec une fonction auxilliaire"

    car g(x) a d'autres racines en dehors de cet intervalle.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  22. #19
    ansset

    Re : TERMINAL S DM MATHS : Exponentielle "avec une fonction auxilliaire"

    erreur : désolé.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  23. #20
    Crazy08000

    Re : TERMINAL S DM MATHS : Exponentielle "avec une fonction auxilliaire"

    Salut, j'ai aussi cet exercice a faire. Je suis egalement bloqué a la question 2)a) je ne comprend pas " sont de signe contaire ". Si quelqu'un pourrai m'aider. Merci d'avance

  24. #21
    gg0

    Re : TERMINAL S DM MATHS : Exponentielle "avec une fonction auxilliaire"

    Si l'un est positif, l'autre est négatif et réciproquement.
    En général, en terminale, on a rencontré l'idée de "signe" d'une expression pour parler du fait qu'elle est positive ou négative.

    Bon travail !

  25. #22
    Crazy08000

    Re : TERMINAL S DM MATHS : Exponentielle "avec une fonction auxilliaire"

    Oui c'était juste pour être sur, car quand on trace les deux courbe a l'aide de géogébra, on voit bien qu'elle ne sont pas de signe contraire sur l'intervalle demandé. Quelqu'un pourrait-il m'éclairer. Merci d'avance.

  26. #23
    gg0

    Re : TERMINAL S DM MATHS : Exponentielle "avec une fonction auxilliaire"

    Bonjour.

    Je ne sais pas ce que tu as tracé, mais si on calcule juste (Soltas avait fini par le faire), c'est évident que f' et g sont de signe contraire sur [0;+oo[.

    Cordialement.

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