spé maths

[invite4288d7ca]

Bonsoir à tous,
Je bloque sur ce problème :

f est une fonction de N dans N telle que: ∀n ∈N, f (n) + ( f o f )(n) + ( f o f o f )(n) = 3n
Que dire de f ?

F(n) = n ?
Je ne suis pas sur que ce soit juste ce que le prof cherche à nous montrer.


Pouvez vous m'aider s'il vous plait ?
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[invite4288d7ca]

Quelqu'un aurait une idée pour prouver que c'est la seule solution ?

[Seirios]

Bonjour,

Suppose par l'absurde qu'il existe une solution n'est pas l'identite. Soit le plus petit entier satisfaisant .

1) La première chose à remarquer, c'est que tu ne peux pas avoir .

2) Tu as donc . De ton équation fonctionnelle, tu déduis que soit soit .

2.1) Remarque d'abord que tu ne peux pas avoir .

2.1) Disons que . Montre que c'est impossible en regardant ton équation fonctionnelle avec .

2.2) Suppose que et . Montre que c'est impossible en regardant ton équation fonctionnelle avec .

3) Conclus !