dm maths

[pincerg]

Bonjour voici le sujet de mon DM de maths
PARTIE 1 : Une propriété insolite des sécantes à la parabole P d'équation y=x^2
1) Soient A (a ;a^2) et B(b;b^2) deux points distincts de la courbe P tels que a<b et g la
fonction affine définie par g(x)=m x+p dont la représentation graphique est la droite (AB).
Exprimer m et p en fonction de a et b .
2) Dans cette question a et b sont deux entiers tels que −5≤a≤−2 et 2≤b≤11 ;
a) Combien de valeurs prennent a et b ?
b) Combien de couples (a;b) peut-on former ?
c) A chaque couple (a;b) , on associe une droite (AB) . Combien de droites peut-on tracer ?
d) Tracer ces droites dans un repère . (on pourra utiliser géogébra ).
e) Marquer en rouge sur le graphique tous les points de coordonnées (0;n) (n entier naturel
supérieur à 2 et inférieur ou égal à 25) n'appartenant pas à ces droites .
Quelle conjecture peut-on faire sur la nature des nombres entiers n ?
f) Démontrer cette conjecture .
PARTIE 2 : tangentes à la parabole P d'équation y=x^2
1) Soit la fonction affine f1 définie par f1(x)=2 x−1 ;
a) Montrer que l'équation x^2= f1(x) admet une solution unique dont on déterminera la
valeur .
b) En déduire le nombre et les coordonnées des points d'intersection de P et de la droite
représentant f1 .
2) Soit A(a ;a^2) un point de P et fa la fonction affine définie par fa(x)=2ax-a^2 ;
a) Montrer que l'équation x^2= fa(x) équivaut à (x−a)^2=0 ;
b) En déduire le nombre et les coordonnées des points d'intersection de P et de la droite
représentant fa .
Nota : ces droites sont des tangentes à P au point A(a ;a^2) ;
c) Etudier le signe de x^2− fa(x) et en déduire la position de la parabole P par
rapport à ses tangentes .
Nota: on dira que la fonction "carrée" est convexe .
Les deux parties sont indépendantes .

ou jen suis
partie 1
1) j ai trouvé m=a+b et p=g(x)-(b+a)x
2a) a prend 4 valeurs et b prends 9 valeurs
b) on peut former 36 couples
c)on peut tracer 36 droites
e) je ne voit pas la conjecture je bloque quelqu un pourrait m aider ?
ps: je n ai pas encore fait la partie 2
merci de votre aide
-----

[PlaneteF]

Bonjour,

1) j ai trouvé m=a+b et p=g(x)-(b+a)x

OK pour . Par contre pour , tu ne dois pas avoir de .

2a) a prend 4 valeurs et b prends 9 valeurs

Non ce n'est pas bon pour .


Cordialement

[pincerg]

Merci pour les infos
Du coup p=-ab
Et effectivement b prends 10 valeurs
Du coup 40 couples donc 40 droites c est bien ca?
Pour la conjecture je seche...

[ansset]

Merci pour les infos
Du coup p=-ab
Et effectivement b prends 10 valeurs
Du coup 40 couples donc 40 droites c est bien ca?
Pour la conjecture je seche...

oui,
pour la conjecture, j'observe que tous les nb pairs sont dans la liste sauf 2 , ainsi que tous les impairs non premiers.
( dans l'intervalle de l'étude )

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Bonjour,

Du coup 40 couples donc 40 droites c est bien ca?

Oui, ... mais sais-tu démontrer ce que j'ai mis en bleu dans ta citation ?

Cdt

[pincerg]

Merci pour les infos j ai pas encore fait la démonstration j avais juste fait les grandes lignes je compte la faire demain
Cdt

[pincerg]

en fait pour la conjecture les nombres entiers n sont des nombres premiers mais comment le demontrer?
pour la partie 2
1a) x²=2x-1
x²-2x+1=0
(x-1)²=0
donc x=0
on obtient une unique solution x=1
b) coordonnées du point d intersection (1,1)
2a) x²=2ax-a²
x²-2ax+a²=0
(x-a)²=0
b) coordonnées des points d intersection (a;a²)
c) est ce que je dois poser a<b et calculer mais ca me montre que c'est decroissant ca a un rapport avec la position de la courbe?
merci

[pincerg]

en reflechissant je pose
g(x)=x²-2ax+a²
=(x-a)²>0
donc la fonction carrée se situe au dessus de ses tangentes c 'est ca?

[pincerg]

et c'est x=1 au dessus
en reflechissant je pose
g(x)=x²-2ax+a²
=(x-a)²>0
donc la fonction carrée se situe au dessus de ses tangentes c 'est ca?