Restes de an+b

[kaderben]

Bonjour

A la calculette, la périodes des restes de 7n+2 modulo 9 pour n variant de 0 à 8 est:
2,0,7,...,4
On peut conjecturer que cette période est de longueur 8
Pour montrer cette période je m'y prends comme suit:
soit k entier quelconque
7(n+8)+2=7n+2 +7*8=7n+2+56
or 56 =2[9]
On retrouve le reste 2 comme pour n=0

Oui, je sais que la rédaction est moyenne!

est ce correct ?
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[gg0]

Bonjour.

Moi je vois une période de 9 : 2,0,7,5,3,1,8,6,4.
ta rédaction est vraiment "moyenne", avec ce k qui ne sert pas.

Définis , pour prouver que (c'est quasiment évident), puis justifie par le début qu'il n'y a pas de plus petite période.

Cordialement.

[kaderben]

effectivement une periode de 9

puis justifie par le début qu'il n'y a pas de plus petite période.

Dans mes souvenirs, on parle de petite periode pour les fonctions trigonométriques.

Et voici ce que j'ai relevé sur internet:

si une fonction est continue de R dans R et périodique non constante, alors elle admet une plus petite période >0.

Ou à moins que c'est spéciale pour les fonction ?

[gg0]

Voyons Kaderben, si on a répétition tous les 9 termes, ça n'interdit pas d'avoir des répétitions tous les trois termes !!!

Pourquoi aller chercher des notions qui n'ont rien à voir au lieu de chercher à comprendre ce qu'on te répond ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[kaderben]

Oui, je n'ai pas compris sur le coup ce que tu voulais dire par:

puis justifie par le début qu'il n'y a pas de plus petite période.

Bon je vais essayer!
dans 2,0,7,5,3,1,8,6,4 il n'y a pas de sous periodes, donc pas de plus petite periode

soit Un=7n+2 mod 9
U(n+9)=7(n+9)+2=7n+2+7*9
or 7*9=0 mod 9
d'ou' U(n+9)=7n+2 mod 9 =Un mod 9

Peut être il y a un mieux que dans mon premier message!

[gg0]

Oui,

car dans ton premier message tu "démontrais" une périodicité de 8 termes !!!

Pour ma part, je rédigerais la preuve, en commençant par la périodicité :
Soit U(n)=7n+2.

Donc U est périodique de période 9. Les 9 premiers termes étant tous distincts (2,0,7,5,3,1,8,6,4), il n'y a pas de période plis petite.

Cordialement.

[kaderben]

oui, dans mon premier message j'arrive à 7n+2+56 en prenant le 8 du dernier m pour longueur de la periode
56=2 mod 9
ce qui fait 7n+2+56=7n+2+2 mod 9 et non 7n+2 mod 9.
C'est ce qu'on appelle du "vite fait mal fait" de ma part

merci ggO

[kaderben]

donc on peut procéder de la même façon pour 2^n mod 7 par exemple
A la calculette on obtient pour les restes:2,4,1
Soit Un=2^n mod 7
U(n+3)=2^(n+3) mod 7=2^n*2^3 mod 7=2^n*8 mode 7
Or 8=1 mod 7
donc U(n+3)= 2^n mod 7
et conclue à ta façon.