Equivalence de deux équations

[V13]

Bonjour !

J'ai un petit problème de logique... Quand j'essaye de résoudre une équation où il y a une restriction sur je crois qu'en transformant l'équation pour la résoudre je fais une erreur de logique car les deux équations ne sont pas équivalentes.

Par exemple :

On résout :

, notons cette éq. (1) en mettant le terme avec la racine dans un membre seul et en élevant au carré, on obtient : on la note (2), en résolvant cette éq. du second degré on trouve deux solutions dont une négative.
Or quand on regarde l'équation initiale on s'aperçoit que la solution négative ne marche pas puisque la racine carré n'est définie que si le radicande est positif.

Je sais bien que les deux équations ne sont pas équivalentes mais j'aimerais savoir comment on dois rédiger "proprement", est-ce qu'on doit marquer : "cette équation n'est définie que sur , on va donc la résoudre sur ".

Je voulais savoir aussi si en procédant ainsi (en élevant au carré membre à membre est en résolvant l'eq. du second degré) il était certain que tout nombre solution de (1) était aussi solution de (2). Parce que je sais bien que si deux équations sont équivalentes, elles ont les mêmes solutions, mais là on a pas une équivalence mais une simple implication : (1) implique (2) donc est-il assurer que (2) contient dans son ensemble de solutions au moins les solutions de (1) ?

Autre exemple :

(1), en résolvant classiquement cette équation, : (2) donc , or dans l'équation d'origine, il y a un au dénominateur, donc quand on essaye de "mettre" la solution dans l'équation d'origine ça marche pas car c'est pas défini.

Ces deux équations ne sont donc pas équivalentes puisqu'elles n'ont pas le même ensemble de solutions. Or autant pour l'équation précédente je sais que c'est le passage au carré qui fait que les deux équations ne sont pas équivalentes (la réciproque est fausse), autant là je ne vois pas ce qui peut justifier que les deux équations ne sont pas équivalentes.

Merci pour vos réponses avisées ^^
-----

[pelkin]

d'où sort le 31x ???

[V13]

Désolé erreur de frappe ^^

L'équation initiale était et non pas

[gg0]

Bonjour V13.

Si tu veux résoudre des équations par équivalence, il faut utiliser des équivalences, ce que tu n'as pas fait les deux fois.

Pour la première, A=B n'est pas équivalent à A²=B²; pour la deuxième, x²/x n'est pas égal à x quel que soit x.
Pour la première, le mieux est d'écrire :
(*)

etc.

C'est lourd ! le plus simple est quand même de procéder par implication : "Si x est une solution, alors .. .alors ..." puis vérification des solutions; au besoin rajouter que x est positif.

Pour la deuxième, on ne peut pas simplifier par 0 dans une fraction, mais justement, la fraction n'existe que si x est non nul. On l'impose au départ, et on tombe sur l'équation 2=0 qui n'a pas de solution.

Cordialement.

(*) les deux conditions ne rajoutent rien puisqu'elles sont des conséquences de l'écriture de l'équation, de la définition de la racine carrée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Schrodies-cat]

Bonjour !

J'ai un petit problème de logique...
On résout :

, notons cette éq. (1) en mettant le terme avec la racine dans un membre seul et en élevant au carré, on obtient : on la note (2), en résolvant cette éq. du second degré on trouve deux solutions dont une négative.
Or quand on regarde l'équation initiale on s'aperçoit que la solution négative ne marche pas puisque la racine carré n'est définie que si le radicande est positif.

Je sais bien que les deux équations ne sont pas équivalentes mais j'aimerais savoir comment on dois rédiger "proprement", est-ce qu'on doit marquer : "cette équation n'est définie que sur , on va donc la résoudre sur ".

Je voulais savoir aussi si en procédant ainsi (en élevant au carré membre à membre est en résolvant l'eq. du second degré) il était certain que tout nombre solution de (1) était aussi solution de (2). Parce que je sais bien que si deux équations sont équivalentes, elles ont les mêmes solutions, mais là on a pas une équivalence mais une simple implication : (1) implique (2) donc est-il assurer que (2) contient dans son ensemble de solutions au moins les solutions de (1) ?

Il y a effectivement un problème de logique, en fait on a:
(1)=>(2) ;"=>" se lisant "implique"
mais pas:
(1)<=>(2) ; "<=>" se lisant "est équivalent à"

En fait, on a:
(1)<=> ( (2) et (x>=0) ) ; >= pour supérieur ou égal .

En fait, quand tu écris :
,
tu supposes implicitement que x>=0

[V13]

Est-ce que si on fait une étape de transformation avant la résolution c'est rigoureux ? Par exemple si on marque :









Et ensuite d'annoncer qu'on résout cette équation (on recherche les solutions dans ) qui est équivalente à la première ?

[Schrodies-cat]

Disons plus rigoureusement qu'on a:
,
et :