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Probabilité: Arrangements avec répétition



  1. #1
    pedigree

    Probabilité: Arrangements avec répétition


    ------

    Bonjour, faisant des exercices d'arrangement, je me retrouve face à un problème:

    En lançant deux dés, on nous dit que le nombre de suites possibles est de 36^24 et que le nombre de suites sans double 6 est de 35^24, sauf que je ne comprends pas pourquoi on a fait 36-1. Dans ma tête, je me disais que le 36 vient du 6*6 et ça me parait logique, mais ce que je ne comprends pas c'est le 35.

    Lorsqu'on lance un seul dé, le nombre de suites possibles est de 6^24 et le nombre de suites sans 6 est de 5^24, ça je comprends vu qu'on ne peut pas avoir de 6 du tout!

    Lorsque j'ai des problèmes de ce genre, est-ce qu'il faut systématiquement retirer 1 au nombre de suites possibles ?
    Si on nous demandait le nombre de suites possible sans 6 et sans 5, aurait-il fallu faire (36-2)^24 ?

    Aussi, on nous dit que la probabilité d'avoir au moins un double 6 est de 1 - 35^24/36^24. Est-ce que si on nous disait la probabilité d'avoir au moins deux double 6, il aurait fallu faire 2 - 35^24/36^24 ?

    Je suppose que je raisonne mal sur le problème, pourriez-vous me montrer comment je suis sensé l'aborder ?

    -----
    Dernière modification par pedigree ; 24/04/2016 à 11h25.

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  3. #2
    Kairn

    Re : Probabilité: Arrangements avec répétition

    Quand tu lances deux dés, tu as 36 combinaisons possibles, et une seule te donne "double 6". D'où le 35 = 36-1.
    36, c'est le nombre de couple (a,b) avec a et b entre 1 et 6 ; 35 c'est le nombre de couple (a,b) avec a et b entre 1 et 6, mais avec a et b ne valant pas 6 simultanément :

    et

    C'est la même chose avec un dé : tu as 6 possibilités, mais une seule donne "6" : d'où le 5 = 6-1

    Dans ces questions, tu dois compter le nombre de possibilités que t'enlèvent les contraintes imposées.
    Si tu veux le nombre de suites sans 5 et 6 à la fois, alors tu retires les couples (5,6) et (6,5) et tu auras donc 34 = 36-2.
    Si tu veux le nombre de suites sans 5 ou 6, il faut compter le nombre de couple (a,b) ayant au moins un 5 ou un 6 : ce sont les couples (n,5), (n,6) pour n=1, 2, 3, 4, 5, 6 ; (5,n), (6,n) pour n=1, 2, 3, 4 (attention, tu as déjà compté (5,5), (5,6), (6,5) et (6,6) !) : soit 2*6+2*4 = 20 couples en tout. Tu considèreras donc 16 = 36-20.


    En notant n le nombre de lancers, alors la probabilité d'avoir au moins un "double 6" est :
    .
    La probabilité d'avoir au moins deux "double 6" est :
    (j'espère pas dire de bêtises...)
    et ce n'est certainement pas puisque ce nombre est supérieur à 1 .

  4. #3
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Probabilité: Arrangements avec répétition

    edit : inutile ..... désolé
    Dernière modification par ansset ; 24/04/2016 à 15h20.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  5. #4
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Probabilité: Arrangements avec répétition

    Pedigree,

    Ton message initial ne donne pas l'énoncé véritable, donc un de tes problèmes est d'être capable de le redonner sans rien oublier. Par exemple, il est probable qu'on ne jette pas 2 dés (il n'y aura pas de suite), mais 24 fois de suite 2 dès. Il y a une petite différence, non ?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    pedigree

    Re : Probabilité: Arrangements avec répétition

    Oui désolé, j'ai oublié de préciser qu'il s'agit d'une suite de 24 lancers de 2 dés.
    Sinon, ce que Kairn a dit est correct?

  8. #6
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Probabilité: Arrangements avec répétition

    Oui.

    Tu peux aussi remarquer que les 24 doubles lancers étant indépendants, le nombre de double six obtenus suit la loi binomiale B(24,1/36).

    On peut encore le faire directement avec des arrangements, mais c'est pénible ! On compte 36^24 arrangements possibles, dont 35^24 ne contiennent aucun double six; pour le "au moins 2", il faut aussi compter le nombre de ceux où il y a exactement un double six, qui se comptent en choisissant où se place le double 6 (24 possibilités) et mettant autre chose qu'un double six dans les 23 places restantes, ce qui fait 24*35^23 arrangements.

    Cordialement.

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  10. #7
    pedigree

    Re : Probabilité: Arrangements avec répétition

    D'accord, par contre j'ai toujours pas compris d'oú vient ce 35, il s'agit des différentes combinaisons allant de 1 à 6 avec l'autre dé qui va de 1 à 6 aussi, sans combiner les deux 6 tout simplement en fait?

    Merci beaucoup pour vos explications, c'est déjà plus clair dans ma tête !

  11. #8
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Probabilité: Arrangements avec répétition

    le 35=36-1 , car il n' y a qu'un double 6.
    dans le 36 de départ, tu as 30 arrangements "non-doubles" ( avec des chiffres différents )
    A(6,2)=30 ( arrang de 2 parmi 6 )
    + 6 combinaisons doubles de (1,1) à (6,6)
    donc si on ne veut pas de double 6, il ne reste que 35 lancés possibles.

    ev ce qu'on dit kairn et gg0 est juste.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

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