3*2^m+1=n^2

[invite0ac034dd]

Salut à tous ! Quelque sait comment résoudre ce genre d'équation (cfr titre) ? Sachant que m et n sont dans Z.
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[invitef29758b5]

Salut
Le terme de droite est pair .
Le terme de gauche est impair , sauf cas particulier .

[Médiat]

Bonjour,

Vous pouvez commencer par étudier cette équation modulo 6

[Médiat]

Le terme de droite est pair .

3^2 serait pair ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef29758b5]

Oups !
Cette notation en chapeau de gendarme m' embrouille l' esprit .

[invite0ac034dd]

Ah on est censé etudier quoi ?

[Resartus]

Bonjour,
Il me semble que l'arithmétique "modulo n" n'est plus au programme du lycée (sauf peut-être dans l'option spé math en terminale S?)

Dans votre cas, on peut écrire que 3*2^m=n²-1=(n+1)*(n-1)

L'un des deux nombres n+1 ou n-1 va être un multiple de 3, et l'autre sera forcément uniquement une puissance de 2.
En essayant n=2^k-1, on trouve avec quelques manipulations une solution unique.
Et on trouve une autre solution en essayant n=2^k+1

[invite0ac034dd]

Ok merci, mais tu sors d'ou ton 2^k+1 et 2^k - 1 ?

[gg0]

Si n-1= 2^k, alors ...

Cordialement.

[invite0ac034dd]

Pourquoi ? Je comprends que vu que solutions dans Z, l'un des deux sera égal à 2^m et l'autre à 3. Mais pourquoi k ? Je veux dire pourquoi pas poser directement : n-1=2^m ou n+1 = 2^m ?

[invite0ac034dd]

Du coup si n+1 = 3 => n=2 et si n-1=3 alors n=4. Je remplace. Si n=2 alors 2^m=1 => m=0 et si n=4 alors 2^m =5 => pas de solution dans Z.
=> solution (m=0;n=+-2) ??

[Resartus]

Bonjour,
Non, il faut être plus soigneux dans les calculs, car cela ne pardonne pas aux examens.

L'autre facteur n+1 est pair et ne peut pas être égal à 3 (et k n'est pas égal à m).

Si n vaut 2^k+1 alors n-1 vaut 2^k et n+1 vaut 2+2^k soit 2*(1+2^(k-1))

C'est donc 1+2^(k-1) qui est impair et doit valoir 3 d'où k-1=1 et n vaut 1+2²=5, soit 3*2^3+1=24+1=5²

Je vous laisse chercher l'autre solution dans le cas n= 2^k-1

[invite0ac034dd]

Pourquoi ? Je comprends que vu que solutions dans Z, l'un des deux sera égal à 2^m et l'autre à 3. Mais pourquoi k ? Je veux dire pourquoi pas poser directement : n-1=2^m ou n+1 = 2^m ?

[Resartus]

Bonjour
Je vous ai déjà répondu que c'est faux et je vous ai donné toutes les réponses
Comme vous ne les lisez pas, je crois que je vais arrêter là cette discussion...

[invite0ac034dd]

Ok j'ai compris cette histoire de parité mais ...
<<Si n-1= 2^k, alors ...>> tu parle de k comment tu en avais déjà parlé auparavant , je suis ustensile perdu à cause de ça, comment tu sais que cette égalité est vraie ?

[invite0ac034dd]

Faute de frappe ,ustensile na rien à faire ici x)

[gg0]

Dire que a est une puissance de 2, c'est dire qu'il existe un entier (notons-le k) tel que a=2^k. Et écrire n-1=2^k c'est bien dire que n-1 est une puissance de 2.
En fait, dans une explication, on ne peut pas tout expliquer, sinon l'explication ne finira pas. Il faut que tu y mettes du tien. C'est toi qui veux comprendre, prends le temps de bien réfléchir ...

Une interrogation personnelle : Pourquoi fais-tu cet exercice difficile alors que tu ne sembles pas vraiment posséder les connaissances et habitudes de calcul qui permettent de le faire ?

Cordialement.