modélisation et exponentielles

[Thomas Futura]

Bonjour, je viens de commencer mon devoir mais apres quelques recherches au brouillon qui n'ont pas étés fructueuses, je me permet de me rediriger vers le forum.

Voici l'énoncé :
Le taux d'alcoolémie (en g/L) dans le sang pour une personne est en fonction du temps exprimé en heures dont la modélisation est f(t)=ate^(-kt)
a et k sont des paramètres qui dépendent du poids de la personne et des aliments absorbés.
Pour une personne contrôlée, la courbe de son taux d'alcoolémie est donnée ci contre.

première question : on suppose que le maximum du taux de cette personne a été atteint au bout de 40min. Déterminer le réel k.
seconde question : La personne avait un taux d'alcoolémie de 0.5g/L au bout de 20 min. Déterminer a.
troisième question : On a k=1.5 et a=2.5
quatrième question : a) code de la route interdit la circulation au dessus de 0.5g/L. Déterminer le temps que la personne doit attendre pour conduire.
b) Ecrire un algorithme pour connaitre au bout de combien de temps la personne n'aura plus d'alcool dans le sang (en dessous de 0.01g/L)

Merci d'avance pour vos réponses.
Bonne journée.

Edusco
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[danyvio]

Je suppose que tu vas nous montrer le début de ta réflexion, comme par exemple le calcul de la dérivée de la fonction.

[Thomas Futura]

Oui, j ai dérivé la fonction ate^(-kt)

f(t)=ate^(-kt)

avec u=at
et v=e^(-kt)

alors u'=a
et v'=-kte^(-kt)

on a alors f'(t)=ae^(-kt) - akte^(-kt) = (1-kt)*a*e^(-kt)

[gg0]

Maintenant, quel est le lien entre dérivée et maximum ?

Cordialement.

NB : C'est une question de cours.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Thomas Futura]

Selon mon cours :
"Le maximum local s'obtient avec le tableau de variation."
Avec le tableau de variation, nous observons si la dérivée est croissante ou décroissante. Nous pouvons donc en déduire le maximum de la fonction.

[gg0]

Donc tu sais quoi faire ...

[Sam Ca]

Bonsoir, j'ai le meme dm et ce que je ne comprend pas c'est comment cela va nous aider a trouver le réel k, je ne comprends pas ?

[gg0]

Bonjour.

Sans faire le travail, tu ne verras pas. Si tu fais ce qui est proposé et que tu ne vois toujours pas, expose ce que tu as fait, on t'aidera. Mais il n'y a pas de raison ...

Cordialement.

[Sam Ca]

Je devrai peut être reformuler ma question, ce que je n'ai pas compris c'est à quoi correspond concrètement k dans la fonction ?
Aussi, c'est une équation a deux inconnus car il nous manque a et k donc je vois pas comment trouver k ?
En faite je n'arrive pas à faire le lien avec le maximum que vous parliez auparavant, qui n'est pas calculable vu qu'il nous avons deux inconnus dans la fonction
Merci

[gg0]

La valeur de k se trouve bien comme demandé. mais comme tu ne fais pas le simple calcul pour obtenir le maximum et/ou que tu ne lis pas l'énoncé, tu peux continuer longtemps à contester. Les éléments du maximum sont tout à fait calculables, en fonction de k et a, puis l'énoncé permet de calculer k.
Et k, c'est une coefficient inconnu au départ, ce qu'on appelle un "facteur de temps". Si t est en secondes, il est en hertz (s^(-1) ).

Cordialement.

[Sam Ca]

Bah au final j'ai calculé la dérive de la fonction f(t), ça m'a donné f'(t)=a*e^(-kt)-a*t*k*e^(-kt)
D'après ce que j'ai compris, si f'(t)=0 alors nous trouverons un maximum local mais je suis bloqué à ça, a*e^(-kt)-a*t*k*e^(-kt)=0 et la je vois pas du tout comment faire.
Si vous pouvez m'aidez je suis complétement pommé la .....

[gg0]

En factorisant, on trouve un seul facteur qui peut s'annuler, dans lequel a ne figure pas (il est factorisé; je l'ai évidemment supposé non nul).
A priori, quand on calcule les dérivées, on fait toujours les factorisations évidentes.

Cordialement.

[Sam Ca]

J'ai compris ! x)
Donc, f'(t)=(1-tk)*ae^(-kt)
Ainsi pour le maximum, soit 1-tk=0 soit ae^(-kt)=0
Sachant que le maximum est atteint à 40min donc 2/3heure
1-(2/3)k=0
(2/3)k=1
k=3/2=1.5
c'est ça ?

[gg0]

Oui !
En fait, on n'a que 1-kt qui peut s'annuler.

[Sam Ca]

ok dac merci ça me debloque énormément