congruence : quelques questions

[invite910442d9]

Bonjour,

J'ai quelques questions sur la congruence.

**Quelle est la notation moderne recommandée pour "a congru à b modulo m" ?
Doit on écrire

a ≡ b (n) ;
ou
a ≡ b [n] ;
ou
a ≡ b (mod n) ;
ou
a ≡ b mod n

-->Quelle est la notation moderne recommandée ?


**Mathématiquement, cela s'exprime par :
a=k.n+b

q appartient à N ou à Z ?

Je pensais que c'était Z, mais sur Wikipédia, ils écrivent :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Congru...ur_les_entiers
"Soit n un entier naturel. Deux entiers relatifs a et b sont dits congrus modulo n si leur différence est divisible par n, c'est-à-dire si a est de la forme b + kn avec k entier"

ils disent "k entier". Ils ne disent pas "k entier relatif" : pourquoi ils ne proposent pas k entier relatif ?

**ma dernière question :
Si on cherche à exprimer à réaliser la division euclidienne d'un nombre 'a' entier par un nombre 'm', sous la forme d'un quotient et d'un reste, on écrit :
a=q*m + r

Mais techniquement parlant, sans calculatrice (par exemple pour les examens), est-ce que cela signifie que on doit effectuer
1)une division de a par m (qui peut être longue si a et m sont grands)
2)une multiplication de la partie entière de q trouvée par m
3)une soustraction de a par le résultat précédent.
-->c'est rapidement fastidieux et long pour les nombres élevés sans calculatrice. Y a t'il une méthode plus rapide ?
(en examens, si on a de nombreux cas de ce type, on peut perdre beaucoup de temps)

merci à vous
-----

[gg0]

Bonjour.

Notations : On utilise couramment les trois dernières.

Entier peut être interprété comme "entier naturel" ou "entier relatif". Dans des cas comme celui-ci, où il est bfacile de voir que k peut être négatif, on ne précise pas.

Pour la division euclidienne, il y a de nombreuses situations différentes, donc pas de règle. Si par exemple, tu cherches le reste de la division de 2^1000 par 9, tu ne vas pas t'amuser à calculer l'écriture développée de 2^1000. Mais remarquer que 2^10 est congru à -2 modulo 9.

Cordialement.

[invite910442d9]

merci gg0.

Je me suis mal exprimé

Pour calculer la division euclidienne sans calculatrice, de deux nombres exprimé de façon *conventionnelle* (sans puissances), est-on obligé de faire les trois opérations suivantes :
1)une division de a par m (qui peut être longue si a et m sont grands)
2)une multiplication de la partie entière de q trouvée par m
3)une soustraction de a par le résultat précédent.
ce qui est très fastidieux

exemple : soit à calculer la division euclidienne de

34 par 15
De tête, c'est facile, mais on a fait le raisonnement précédent dans sa tête.

Mais si on a à faire la division euclidienne de 123456123401234823495238945823 495 par 347234
çà va prendre du temps de faire la division, la multiplication et la soustraction

Y a t'il une méthode plus rapide que de faire les 3 opérations ?

Pour la notation congru, quelle est la notation à l'agrégation de math ?

merci

[gg0]

En fait,

il n'y a pas besoin de tes trois étapes, on se contente de faire la division, comme en primaire. On obtiendra le quotient et le reste.
Et effectivement, c'est long !

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite910442d9]

Ah oui
je n'y avais même pas pensé. Je suis idiot..
C'est génial, donc il n'y a qu'une opération à réaliser.
Merci beaucoup.

[invite51d17075]

Mais si on a à faire la division euclidienne de 123456123401234823495238945823 495 par 347234
çà va prendre du temps de faire la division, la multiplication et la soustraction

bjr, je serais très étonné qu'on te demande ça sans calculatrice ( voire même avec ).
sinon pour les chiffres "un peu" grand ( mais pas trop ) on peut simplifier le travail de division en passant par une décomposition en facteurs premiers.

[invite910442d9]

et pour la notation de a congrus à b modulo n

Quelle est la notation utilisée actuellement dans les licences de math ? (ou autres formations actuelles en math)

[gg0]

Relis le message #2.
Difficile de répondre à "Quelle est la notation utilisée actuellement dans les licences de math ?", il faudrait voir tous les profs qui y enseignent. Il est possible que soient aussi employés
a=b mod n
a=b [n] (*)

Cordialement.

(*) notation souvent employée pour les mesures d'angles, donc hors arithmétique.

[invite51d17075]

j'avais commandé pour le fun les cours de prépa à l'AGREG de math il y a 3 ans.
la notation que j'y ai vu est :
a ≡ b (mod n)

[invite156cfd77]

En prépa il y'a 3ans, je notais a ≡ b [n]