Calcul du troisième côté d'un triangle

[invite7ad66afc]

Soit ABC un triangle et B' le point sur BC tel que l'angle AB'C fait 60°. L'angle ABC fait 30°. La longueur BB' fait 10. La longueur B'C fait x (elle est variable). Le but est de calculer la longueur AC.

En épargnant certains calculs, j'ai pu trouver AB'=10, AB=10*sqrt(3), AH=5*sqrt(3) avec H, point sur BC, intersection avec la hauteur issue de A. L'aire du triangle ABC fait donc (10+x)*2,5*sqrt(3) et celle du triangle AB'C, fait 2,5x*sqrt(3).

A-t-on assez d'informations pour calculer AC en fonction de x et des données actuelles ?
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[Resartus]

Bonjour,
On peut calculer AC² avec le théorème de pythagore dans le triangle AHC, ou si on a le droit d'utiliser le théorème d'al kashi, directement dans le triangle AB'C,
AC²= AB'²+B'C²-2AB'.B'C.cos(60°)

[invite7ad66afc]

On ne pourrait pas calculer AC avec pythagore sur AHC, vu que les longueurs HC et AC sont inconnues et que les angles HAC et HCA sont inconnus.

Par contre, je dis oui pour Al-Kashi, en effet, on aurait AC=sqrt(x²-10x+100) (tout le temps positif car b²-4ac=-300 et x²>0) ^^

Merci bien <3

[Resartus]

Bonjour,
"vu que les longueurs HC et AC sont inconnues et que les angles HAC et HCA sont inconnus" ????

1) Pas besoin des angles HAC et HCA pour calculer AC par pythagore, du moment que AHC est droit. Il suffit de connaitre HC et AH (je suppose que c'est ce que vous vouliez écrire, et pas AC qui est justement ce qu'on cherche)
2) vous avez calculé vous même AH
3 HC vaut très précisément B'C-HB'
4) et HB' se calcule sans difficulté connaissant le cosinus de 60° (exactement 1/2) et la longueur de AB'

Ceci dit, puisque vous connaissez al kashi, le calcul est plus direct...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7ad66afc]

Wait a min, effectivement vu que B'H fait 5, on aurait donc |x-5|²+(5*sqrt(3))²=AC² donc AC²=x²-10x+25+75=x²-10x+100.

Bien vu !