Différence de deux côté en fonction du troisième et d'un angle

[zyket]

Bonjour,

je cale sur cet exo :

Soit un triangle quelconque (A,B,I). On note : le pied de la hauteur issue de B ; u l'angle .
Exprimer la différence BI-AI en fonction de AB et u.

Grâce à Pythagore, j'ai écrit les égalités suivantes : ;

J'ai tenté de soustraire mes deux égalités de Pythagore et j'obtiens :

J'ai vu que et que

d'où
d'où

J'ai la différence du carré des côtés mais pas celle des côtés !! Je bloque.

Merci de votre aide
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[gg0]

Bonjour.

Ce problème ne semble pas avoir de solution. Connaissant AB et u, on peut construire la droite AI (*), mais I a une infinité de positions possibles, et la différence AI-BI n'est pas constante.

L'énoncé est-il bien celui-ci ?

Cordialement.

(*) C'est la perpendiculaire en A à la droite Bx qui fait avec BA l'angle u.

[zyket]

Pour tout dire c'est un problème d'optique géométrique dont l'objectif est de démontrer la relation d'Abbe en passant par la différence de temps de trajet de deux rayons lumineux.
A noter que sur mon bouquin u' a été mis pour l'angle (FA'J), mais la construction dans geogebra montre que u'=(C'FJ). Y-aurait-il une erreur ? Qui dois-je croire ?

La valeur des angles n'est pas donnée dans le schéma du bouquin, je les ai fait apparaître pour bien vérifier quels étaient les angles égaux.

[NicoEnac]

Bonjour,

Bien que l'optique commence à remonter loin pour moi, il me semble que vous pouvez une relation supplémentaire de votre schéma.
En effet, d'après votre premier énoncé, impossible de définir une solution/équation uniquement dépendante de AB et u pour la simple et bonne raison que I peut se "balader" sur la droite (AA₀) en donnant des résultats différents pour BI-AI bien que AB et u soient constants. Vous comprenez donc qu'il manque une donnée pour trouver une solution satisfaisante à votre problème.

La donnée supplémentaire que nous apporte votre dessin est que I est situé sur la surface du prisme/de la lentille et donc que vous pouvez trouver une relation entre la distance AC (distance de l'objet au prisme/à la lentille), R le rayon de courbure de la surface (qu'on peut peut-être approximer à une surface plane ? Dans ce cas, ACI est un triangle rectangle) et u.

[A voir en vidéo sur Futura]