nombre complexe

[invited45f8780]

salut a tous je n arrive pas a résoudre une question dans un DM svp si quelqu un peux m aider merci en avance.
on pose
soit A(a) B(b) C(c) tels que ET ET
la question c'est . trouver l'affixe H(h) tel que H est l'orthocentre du triangle ABC
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[Resartus]

Bonjour,

Il faut traduire en équations le fait que AH est perpendiculaire à BC, BH à AC (après traduction des complexes indiqués en coordonnées cartésiennes* dans le plan Oxy...)
C'est un peu laborieux, mais très mécanique. Il suffit de résoudre pas à pas
1) trouver les équations de la droite AH (perpendiculaire à BC et passant par A) et de la droite BH (ou de CH, si vous préférez).
2) trouver l'intersection de ces deux droites

* Il arrive parfois qu'on puisse faire directement des calculs en nombres complexes. Ici, en faisant un dessin (ce qui est toujours conseillé dans ce genre d'exercice) on peut se rendre compte que les points A, B et C indiqués ne sont pas placés n'importe comment par rapport à l'origine, mais cela n'aide pas tellement pour trouver l'orthocentre

[Resartus]

Rebonjour,
Une autre méthode peut-être un poil plus directe est de résoudre vectoriellement. Si H a pour coordonnées x, y, on écrit que AH est perpendiculaire à BC et BH perpendiculaire à C (produits scalaires nuls). Deux équations/deux inconnues...

[invited45f8780]

Salut !!
Merci pour votre réponse !
La dernière méthode est utile , mais je trouvais dans l'expression des x et y plus des cosw et sinw !!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

de toute façon, on abouti à des formules assez lourdes.
on peut simplifier en changeant de repère. ( à condition de revenir au premier repère à la fin )
une translation en y de +2 , puis une rotation de pi/3 , ce qui amène à un triangle
A'(0,0) ; B'(2,0), C'(x'w, y'w)
mais après cela reste je trouve, bien lourd à écrire (*) ( même si on déduit très vite les x'h, y'h qu'il faut retransformer en xh et yh )

(*) on s'attendrait à ce que cela se simplifie, mais non.

la question est elle posée telle qu'elle ou bien faut il chercher w tel que l'orthocentre ait une propriété particulière, ce qui changerait la recherche brutale de celui ci pour tout w ?

[invited45f8780]

Bonjour !
tous les méthodes engendre une seule expression pour (x et y) (pleins des cosw et sinw) .
oui malheureusement la question c est de trouver h(x.y) sans chercher la valeur d w

[invite51d17075]

OKI,
je pense que la méthode que je suggère( cgt de repère ) permet de simplifier les calculs.
mais le résultat final est assez indigeste à écrire.

On peut aussi s'appuyer sur la droite d'Euler et déduire l'orthocentre à partir du centre circonscrit et du centre G !
mais le résultat donne tj une équation que je trouve "lourde" dans l'écriture !