Intersection de suites

[Quentique]

Bonsoir à toutes et à tous,

Je me retrouve dans une grande difficulté :P. J'ai un exercice sur les suites, un problème sur les capitaux avec intérêts simples (arithmétique) et intérêts composés (géométrique). Les deux suites se définissent comme suit :
et

La question que j'ai est de démontrer en quoi le capital de départ ( ; sachant que ) n'influe pas sur le "croisement" des deux suites). Plus loin encore, je cherche à calculer la valeur de n pour laquelle .
On obtient donc une équation de forme :


Problème, je ne vois pas absolument pas comment résoudre cette équation, ma calculatrice l'a résoud bien... Personnellement, j'ai essayé avec diverses méthodes, dont ln mais rien de concluant... J'ai déjà vu beaucoup d'exemple pour résoudre une équation avec un exposant inconnu, mais là il se trouve que l'inconnue n'est pas présent uniquement en exposant....

Enfin bref, je viens vous demander votre aide, étant totalement coincé ! Merci d'avance !
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[gg0]

Bonjour.

Je ne comprends pas ce que tu dis sur le capitale de départ (200) et le croisement : avec 200 au départ, et 24 de plus à chaque période pour l'une, 6% d'augmentation pour l'autre, la première suite reste supérieure à la deuxième jusqu'à la 22-ième période, alors que pour 1000 (100+24n et 1000*1.06^n) la deuxième est supérieure à la première dès la fin de la première période. Donc tu dois avoir laissé de côté des informations.

Pour ton équation, il n'y a généralement pas de solution puisque n est un entier. Et pas de solution exacte, même si tu considères n comme un réel quelconque. Comme on cherche n'importe comment une valeur entière, inutile de chercher une solution approchée (*)

Cordialement.

(*) mais tu peux en trouver une en traçant les deux courbes correspondantes et en zoomant sur la zone où elles se coupent.

[Quentique]

Effectivement, le clivage où intervient pour . Mais cela marche pour n'importe quel capital de départ, avec on obtient et ; et . Je ne vois donc pas ce que j'aurais pu avoir laissé de côté....

Pour mon équation, j'aimerais quand même résoudre cette équation x)... Ma solution la plus aboutie était :



Ma calculatrice me renvoie en solution ou

[DavianThule95]

Tu dis vouloir résoudre quand même l'équation. Dans ce cas là, utilise la fonction de Lambert.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Quentique :

" Mais cela marche pour n'importe quel capital de départ,..." ??? Qu'est-ce qui marche pour n'importe quel capital de départ ?
Tu n'as pas défini de quoi tu parles, tu as défini au message #1 deux suites; pas de capital. J'ai essayé d'interpréter tes deux suites comme correspondant à un capital de 200 et l'une ayant un revenu capitalisé par période de 24, l'autre un intérêt capitalisé par période de 6%. De ce que tu écris j'en déduis que ce n'est pas ça dont tu parles. mais alors tu parles dans le vide puisque tu n'as pas dit de quoi tu parles.

Drôle d'idée de poser une question sans donner les éléments qui disent sur quoi elle porte !!

[pm42]

Je crois qu'il veut dire que 200 devrait être remplacé par une variable, disons C pour capital et que le n où les 2 suites se croisent ne dépendrait pas de C ? Ce qui est étonnant puisque ce n'est pas le cas.

[Quentique]

Merci mille fois, j'ai résolu l'équation !



Par ailleurs je vois que cela marche pour une équation, mais je me demande si cela marche pour une inéquation... car au final, c'est l'inéquation que j'aurais dû poser. Est-il possible de faire de même avec Lambert ?
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C'est vrai que je me suis mal expliqué, je vous joins le sujet. Le problème posé ne fait pas référence directement à des suites. L'exercice d'ailleurs ne demande pas en tant que tel de donner la définition des suites. C'est de ma propre initiative que je me suis rajouté ces questions supplémentaires.

Et ce que l'on peut observer, c'est qu'indépendamment du capital de départ (variable C ou v0 ou u0), le n où les deux suites se croisent ne varie pas. J'en conclus donc que c'est indépendant de C, mais je ne vois pas pourquoi, d'où ma question x)

J'espère avoir été plus clair cette fois
Et encore merci de me consacrer du temps !

[pm42]

Et ce que l'on peut observer, c'est qu'indépendamment du capital de départ (variable C ou v0 ou u0), le n où les deux suites se croisent ne varie pas. J'en conclus donc que c'est indépendant de C, mais je ne vois pas pourquoi, d'où ma question x)

Effectivement, cela ne dépend pas du capital.
Ta 1ère suite s'écrit C * (1+t1)^n. Ta seconde, C + n * C * t2.
Tu fais la différence des 2, tu factorises par C, le capital et tu vois si le signe dépend du dit capital...

[Quentique]

Je reprends donc, ça fait :
et
On fait la différence des deux :

Donc, vu que C n'apparaît plus qu'une fois, je pense que c'est suffisant pour prouver que sa valeur n'affecte pas le croisement entre suites !
Merci beaucoup ! (mon prof de maths m'a aussi expliqué comment le constater graphiquement en représentant les suites par récurrence avec les escaliers, etc.)