Conique : Hyperbole

[invited5acd868]

Bonsoir

Je voudrais demander de l'aide à tout le monde sur cet exercice :
... trajectoire hyperbolique dont le soleil occupe un foyer.
Si 12x² +24x - 4y² + 9 = 0 est une équation de la trajectoire d'une comète, à quelle distance approximative du soleil (en unité astronomique, c'est à dire
la distance moyenne entre la terre et le soleil 1UA= 149,6millions de Km) se trouve cette comète lorsqu'elle en est le plus proche ?
Suggestion : Montrer que le sonnet est de tous les points de la même branche d'hyperbole celui qui est le plus proche du foyer con celle.

J'ai déterminé l'éqaution réduite de l'hyperbole : ((x+1)²/(1/4))-y²/(3/4)=1.
Mais pour le reste j'ai pas beaucoup d'idée.
Merci pour tout celui qui voudra bien me donner un coup de main!
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[invite35452583]

Bonjour,
premier point : la disatnce la plus courte est celle entre le foyer et le sommet. Minimiser la distance au foyer (le bon) est minimiser la distance à la directrice puisque ces deux distances sont proportionnelles. Pour cela il faut que la tangente soit parallèle à la directrice. Et par symétrie...
Détermination du sommet : à partir de l'équation on peut facilement déterminer les axes de symétrie. Dans cette même équation on remplace la constante du membre de droite par 0 et on résoud, on trouve deux équations du premier degré, ce sont les équations des asymptôtes. Les axes sont les bissectrices. Les deux sommets sont sur un des deux axes.
Pour les foyers, ils existent des formules dont je suis incapable de me rappeler et que je n'ai pas en stock mais une petite recherche sur wikipédia devrait les retrouver.

Cordialement