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diagonales du parallélépipéde rectangle

  1. #1
    kaderben

    diagonales du parallélépipéde rectangle

    Bonjour

    Je cale vraiment sur la démonstration de l'intersection des diagonales d'un parallélépipède rectangle.
    Merci pour un déblocage.

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    gg0

    Re : diagonales du parallélépipéde rectangle

    Bonjour.

    Quel type de démonstration veux-tu faire ? Par les plans ? Par les projections ? par la géométrie analytique ? ...

    Le mieux est que tu nous dises ce que tu penses faire et que tu exposes ce que tu as fait jusqu'au blocage.

    Si le blocage est que tu n'as rien fait, fais une figure, et commence une démonstration.

    Cordialement.

  4. #3
    kaderben

    Re : diagonales du parallélépipéde rectangle

    Soit un parallélépipède rectangle ABCDEFGH.
    Démontrer que les diagonales [AG] et [HB] se coupent en leur milieu.
    Je voulais le faire en géométrie classique ( et non analytique) mais je n'arrive pas à décoller même avec un dessin !

    Si le blocage est que tu n'as rien fait, fais une figure, et commence une démonstration.
    Par exemple la projection orthogonale de [AG] et [HB] sur la face (ABCD) c'est [AC] et [DB].
    Mais cela ne prouve pas le résultat attendu !

    Donc je ne vois pas du tout par quoi commencer.

  5. #4
    gg0

    Re : diagonales du parallélépipéde rectangle

    "Mais cela ne prouve pas le résultat attendu !"
    ben non, mais ça peut servir à faire une démonstration. Tu ne crois quand même pas que cette preuve se fait en 2 phrases ?

    Tu peux aussi regarder l'intersection des plans (ACGE) et (BDHF), puis en déduire des choses.

    Allez ! Cherche un peu, essaie de trouver un chemin vers la conclusion, tu t'arrêtes avant d'avoir vraiment essayé.

  6. #5
    kaderben

    Re : diagonales du parallélépipéde rectangle

    Bonjour

    La diagonale [AG] dans (ACG) et [HB] dans (HDB).
    Les plans (ACGE) et (BDHF) se coupent selon la droite (OO') avec o centre de la face ABCD et O' centre de la face EFGH.
    Soit I l'intersection de (OO') avec (AG) et I' l'intersection de (OO') avec (HB).
    On a deux configurations de Thalès:
    le triangle ACG: IO/GC=AO/AC=1/2 donc IO=1/2*CG
    le triangle HDB: IO'/BF=DO/DB=1/2 donc I'O=1/2*BF=1/2*CG
    On a OI=OI'
    On en déduit que les diagonales [AG] et [BF] se coupent en leur milieu.

    Bon, qu'est ce que tu en penses ?

  7. #6
    gg0

    Re : diagonales du parallélépipéde rectangle

    L'idée est là (enfin, une des idées possibles), reste à justifier les différentes affirmations en appliquant des théorèmes. Par exemple que (OO') est l'intersection des deux plans, ou à la fin que BF=CG.

    Une preuve analytique en utilisant le repère (A, AB, AD, AE) prend moins de 10 lignes.

    Cordialement.

  8. #7
    kaderben

    Re : diagonales du parallélépipéde rectangle

    Oui !

    O' est dans les deux plans ainsi que O donc les deux plans se coupent selon (OO')
    BF=CG car BFGC est un rectangle ou à moins que je n'ai pas compris ta question.

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