domaine valeur absolue

**fartassette** · 06/12/2017, 14h18

Bonjour,

Je cherche à améliorer le raisonnement et à savoir si mon écrit est correct :

$f\left( x \right) =\sqrt { { \left| \left( 2x \right) ^{ 2 } \right| }+4\left| x \right| +1 } -\sqrt { 2x^{ 2 }-\left| x-6 \right| }$

1)-Déterminer l'ensemble de définition

1)

$f\left( x \right) \begin{cases} g\left( x \right) =\sqrt { 4{ \left| x \right| }^{ 2 }+4\left| x \right| +1 } \quad =\sqrt { { \left( 2\left| x \right| +1 \right) }^{ 2 } } =\left| 2\left| x \right| +1 \right| =2\left| x \right| +1 \\ h\left( x \right) =\sqrt { 2x^{ 2 }-\left| x-6 \right| } \end{cases}\$

$x\mapsto 2\left| x \right| +1$ est une fonction polynôme définie ${\forall {x} } \, \in \, {\mathbb {R}}$

$x\mapsto \sqrt { 2x^{ 2 }-\left| x-6 \right| }$ est définie à condition que $2x^{ 2 }-\left| 6-x \right| \ge 0$

on a alors:

$2x^{ 2 }-\left| 6-x \right| \ge 0\quad \Leftrightarrow \quad 2x^{ 2 }+x-6\ge 0\quad \Leftrightarrow 2x\left( x+2 \right) -3\left( x+2 \right) \ge 0\\ \\ \Leftrightarrow \quad \left( 2x-3 \right) \left( x+2 \right) \ge 0\$

$\Rightarrow x\in \left.\right\ \left ] -\infty ,-2 \right] \cup \left[ \frac { 3 }{ 2 } \right ,\infty \left[ . \right$

${ D }_{ f }={ D }_{ h }\sqcap { D }_{ g }\\ <br />$ ,,?

${ D }_{ f }=\left.\right\ \left ] -\infty ,-2 \right] \cup \left[ \frac { 3 }{ 2 } \right ,\infty \left[ . \right$

Merci

invitebb943ab6 · 06/12/2017, 17h27

Bonjour,

tu vas vite en besogne ici :

Envoyé par fartassette

Bonjour,
$2x^{ 2 }-\left| 6-x \right| \ge 0\quad \Leftrightarrow \quad 2x^{ 2 }+x-6\ge 0$

il faut distinguer les 2 cas x <= 6 et x > 6.
le cas x > 6 donne un polynome 2x² -x + 6 qui reste constamment > 0
le cas <=6 donne 2x²+x-6 que tu as étudié.

Les conclusions restent les mêmes.

**gg0** · 06/12/2017, 21h17

A noter : 2|x|+1 n'est pas un polynôme.

Cordialement.

**fartassette** · 06/12/2017, 21h19

j 'ai oublié d expliciter le cas 2 : $\Delta <0\quad \Rightarrow \quad h\left( x \right) >0 <br />$ donc définie quelques soit $x$ dans R pour ce cas .

.On fait l'intersection avec l'ensemble des réels et on retrouve bien l'ensemble ${ D }_{ h }$ cité dans mon premier post.

Encore une intersection c 'est bien sa?

${ D }_{ f }={ D }_{ h }\sqcap { D }_{ g }$

Merci, id123

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**fartassette** · 06/12/2017, 21h20

Bonsoir ggo

une equation de droite suivant les cas?

**gg0** · 06/12/2017, 21h50

?? une fonction n'est pas une équation. Si tu tiens à un nom, on peut dire que c'est une fonction affine par morceaux. Mais ça ne justifie rien de plus. Ce qui compte c'est que 2|x|+1 se calcule sans problème quel que soit le réel x.

**fartassette** · 06/12/2017, 22h17

Oui c est plus précis et surtout plus juste de dire fonction affine! merci

invite7c2548ec · 07/12/2017, 09h07

Bonjour à tous .

Voilà cette inéquation $|2x-3 | \le|x+2|$ j'ai trouver 3 ensembles de solutions $s_1,s_2,s_3$ tel que :

$s_1=[5,+ \propto[$
$s_2=[\frac{1}{3},+ \propto[$
$s_3=]- \propto,5]$
Maintenant pour trouver l'ensemble de solution finale je ne sais plus si c'est l'intersection ou l'union de $s_1,s_2,s_3$ merci de m’éclaircir la situation .

Cordialement

**fartassette** · 07/12/2017, 10h13

Bonjour topmath.

$\left| 2x-3 \right| \le \left| x+2 \right|$ moi ici mets au carré

${ \left( x+2 \right) }^{ 2 }-{ \left( 2x-3 \right) }^{ 2 }\ge 0\quad \Leftrightarrow \left( 5-x \right) \left( 3x-1 \right) \ge 0\\$

en principe c 'est l'intersection

$\\ \\ s=]-\infty ,5]\sqcap [\frac { 1 }{ 3 } ,\infty [\\ \\ s=[\frac { 1 }{ 3 } ,5]$ à vérifier

**fartassette** · 07/12/2017, 11h00

mais parfois c est vraiment contraignant comme ici : $\sqrt { 2x-\left| x-5 \right| } <br />$ - faut réfléchir d'avantage et faire attention à la condition d 'existence de la racine.

$(x\ge \frac { 5 }{ 3 })$

invite7c2548ec · 07/12/2017, 12h06

Super fartassette j'ai pas penser à cette propriété .

Cordialement

**gg0** · 07/12/2017, 13h18

Pour Topmath,

ce n'est pas très sérieux de poser ta question dans deux fils, dont l'un est consacré à un autre problème !!

La méthode de Fartassette n'est pas correcte. par exemple x=10 est solution, mais rejeté par Fartassette.

Fartassette, a<b n'est pas du tout équivalent à a²<b². par exemple -3<1, mais (-3)² <1² est faux. Tu devrais revoir les règles de calcul avec les inégalités, et ne faire qu'appliquer ces règles.

Cordialement.

**fartassette** · 07/12/2017, 15h22

Bonjour ggo d 'accord les valeurs ...jusqu'a.... $\infty$ sont solutions

je suis revenue à la définition de la valeur absolue $\left| a \right| \ge 0$ à priori (même signe) de part et d'autre d'ou le passage au carré et ne risque pas de changer le sens de l'inégalité.

Ma question est de savoir d'ou sa sort le signe négatif ( je pense que mon erreur est lié à cette histoire de signe)

le prof nous dit souvent d'utiliser l'astuce du carré pour se débarrasser de la valeur absolue.Mais là j'ai due louper une étape importante

**gg0** · 07/12/2017, 16h24

Topmath a posé le problème dans une autre discussion, et il faut qu'il traite lui-même le problème. Y compris avec la première méthode qu'il a voulu employer, pour bien voir que ce qu'il faisait n'était pas sérieusement fait.

Cependant tu avais raison, j'ai manqué de vigilance, ce que tu fais est adapté aux inégalités entre nombres positifs. Et contrairement à ce que j'ai cru et dit, 10 n'est pas une solution. Ta méthode est bonne. Désolé de t'avoir fait douter.

Cordialement.

invite7c2548ec · 07/12/2017, 19h31

Effectivement gg0 je me suis tromper de poste sans faire attention merci de cette remarque à retenir l'idée de fartassete est très bonne .

Cordialement

**fartassette** · 07/12/2017, 20h17

Une autre idée

à partir de vôtre inégalité on peut en construire une autre : $\left| 2x-3 \right| \le \left| x+2 \right|$

on peut écrire $\left| \frac { 2x-3 }{ x+2 } \right| \le 1\quad \Leftrightarrow \quad \quad -1\le \frac { 2x-3 }{ x+2 } \le 1\quad ,$

$-3\quad \le \frac { -7 }{ x+2 } \le -1\quad ,$

$\frac { 1 }{ 7 } \le \frac { 1 }{ x+2 } \le \frac { 3 }{ 7 } ,\$

$\frac { 7 }{ 3 } \le x+2\le 7\$

$\frac { 1 }{ 3 } \le x\le 5<br />$

Cordialement,

invite7c2548ec · 09/12/2017, 17h26

Bonjour à tous c'est encore mieux !!!

Merci fartassette .

**andretou** · 10/12/2017, 15h46

Envoyé par fartassette

$\left| \frac { 2x-3 }{ x+2 } \right| \le 1\quad \Leftrightarrow \quad \quad -1\le \frac { 2x-3 }{ x+2 } \le 1\quad ,$

$-3\quad \le \frac { -7 }{ x+2 } \le -1\quad ,$

Désolé, mais je suis encore obligé de faire un commentaire : joli !!!

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