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nombres parfaits

  1. #1
    Ninidu62

    nombres parfaits

    Bonjour, j'ai un exercice en spé maths qui me pose problème et j'aurais besoin d'aide. Il est en deux partie mais seule une question partie B me bloque.

    On dit qu'un entier naturel est parfait s'il est égal à la somme de ses diviseurs propres (c'est à dire autres que lui même).

    Partie B:

    1)Soit a un nombre pair. Montrer que 'on peut écrire a sous la forme 2^n*b ou b est impair.
    2)On note s(a) la somme de tous les diviseurs positifs de a.
    a)Montrer que s(a)=(2^(n+1)-1)s(b). (On pouura noter d1,d2,...,dp les diviseurs de b et exprimer les diviseurs de a en fonction de b).
    b)A quelle condition sur s(a), a est il un nombre parfait?
    3)Montrer que cette condition est équivalente a :
    b=(s(b)-b)(2^(n+1)-1).
    4) En déduire que s(b)-b est un diviseur de b.
    5)De s(b)=b+(s(b)-b), déduire que b est premier puis que b=2^(n+1)-1.
    6)Conclure.

    J'aurais besoin d'aide pour la 5 sachant que j'ai réussi les questions précédentes.
    J'essaie d'utiliser le fait que (s(b)-b) est un diviseur de b, soit b= (s(b)-b).k avec k= (2^(n+1)-1) dans s(b)=b+(s(b)-b mais ça ne me mène à rien...

    Merci d'avance

    -----


  2. #2
    shezone

    Re : nombres parfaits

    Bonsoir ,

    Tu sais que s(b) c'est la somme des diviseurs de b et que s(b) = b + (s(b) - b) . Tu sais que b divises b , et quel autre nombre divise b appart lui même ?

    cdt

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