Nombres Parfaits TermS Spé Maths

[invite2fd735b7]

Bonjour à tous, j'ai un DM sur les nombres parfaits a faire pendant les vacances et j'ai presque tout fini. Il y a tout de même une question à lapquelle je n'arrive pas à répondre.
Sachant qu'on a :
*n=2^abavec b impair et n un nombre parfait (pair)
*S(n)=2^a+1b et S(n)=S(b)S(2^a+1-1)
*b=(2^a+1-1)c
Ainsi que 3 formules que l'on déduit simplement qui sont :
*S(b)=2^a+1c
*n=2^a(2^a+1-1)c
*S(n)=2^a+1(2^a+1-1)c

Le problème est le suivant :
"On suppose que c>1 . Démontrer qu'alors ;
S(n)>(2^a+1-1)2^a+1(1+c)

Si quelq'un pouvait m'aider, ce serait très sympa pasque je galère pas mal

PS : S(n) = sigma (n) = la somme de tous les diviseurs de n
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[invite2fd735b7]

Voilà le sujet :


J'en suis à la partie 3 4.

[invite35452583]

Bonjour,
il me semble que ça se déduit ainsi
S(n)=S(2^a.b)=cf partie 1 -3)
S(b)=cf même résultat
Utiliser la valeur de S(2^a), majorer les deux autres grace à partie 1)-2)a)
Et c'est fini.
Je pense que tu as trop cherché à le montrer en utilisant les propriétés successives de la partie 3) qui jusqu'ici cherche à aboutir au résultat moins évident qu'est le 3)c)

[invite35452583]

C'est encore moi ,
il semble que j'ai été abusé par l'énoncé, ma "démo" ne marche pas car le résultat partie1-3) S(ab)=S(a)S(b) est vrai quand a et b sont premiers entre eux mais dans le cas général est faux (Y a-t-il des exemples où ce résultat est vrai avec a et b non premiers entre eux, je ne pense pas mais je n'en suis pas sûr)
Revenons à nos moutons.
Soit à montrer que si c>1 alors

n= on peut appliquer le résultat précédent à cette décomposition.
Reste à montrer que S(b)<=
On peut voir ça en trois cas (pas trouver plus "léger" comme démo)
1) et c distincts alors exhiber 4 diviseurs distincts dont la somme est supérieur (voir égale ) à ce qu'il faut (ne pas chercher midi à 14h )
2) et c égaux mais non premiers alors b=c² à montrer que S(b)>=(1+c)². Or c=c1.c2, c1,c2>1. Il suffit d'exhiber 4 diviseurs nécessairement distincts (il suffit de les prendre tels que leur ordre est évident 1er<2ème<3ème<4ème ; 1er et 4ème évidents, choisir les deux autres >=c=c1.c2)
3) et c égaux avec c premier >1.
On sait alors exhiber les diviseurs de n= calculer S(n) (il y a une facorisation assez aisée) et montrer qu'alors n ne serait pas un nombre parfait.
1) et 2) aboutissent au résultat 3) est impossible 1), 2) et 3) sont les seuls cas possibles =>terminé

bon courage

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2fd735b7]

Oulà c'est compliqué
Est-ce que tu pourrais m'expliquer cette histoire d'exhiber 4 diviseurs stp? Cela ne me dit pas grande chose et si j'utilise des methodes que je ne comprend pas...
Merci beaucoup pour ton aide en tout cas

[invite2fd735b7]

Reste à montrer que S(b)<=

Moi je trouve S(b)>

Car S(n) = (2^a+1-1).S(b)
D'où S(n)>(2^a+1-1).2^a+1.(c+1)

<=> (2^a+1-1).S(b)>(2^a+1-1).2^a+1.(c+1)

<=> S(b)> 2^a+1.(c+1)

[invite35452583]

Bonjour,
en effet je me suis trompé de sens (dans la rédaction) pour l'inégalité comme tu l'as très bien remarqué.
Quant à exhiber 4 diviseurs.
Reprenons le cas simple S(n)>=n+1 si n>1. Ceci se fait en exhibant les deux diviseurs évidents 1 et n dont la somme vaut 1+n.
Si n=a.b avec a et b distincts il n'est pas difficile d'exhiber 4 diviseurs d'une manière similaire avec somme = (a+1)(b+1)

[invite2fd735b7]

Je suis désolé je déute encore mais je ne comprend pas pourquoi tu compares (2^a+1-1) et c
De plus je ne vois pas comment se servir des 4 diviseurs que l'on a sorti...

[invite35452583]

Je suis désolé je déute encore mais je ne comprend pas pourquoi tu compares (2^a+1-1) et c
De plus je ne vois pas comment se servir des 4 diviseurs que l'on a sorti...

Prenons des exemples "concrets".
72=8.9
72 a au moins comme diviseurs 1,8,9 et 8.9=72
S(72)=somme de tous les diviseurs de 72>=somme de quelques uns d'entre eux
S(72)>=1+8+9+8.9=(8+1)(9+1)
De manière générale S(m.n)>=(m+1)(n+1) si.... m et n sont distincts (1ère partie à montrer, là ça doit commencer à devenir facile)
Pourquoi demander m et n distincts. Car exemple 9=3.3 mais diviseurs de 9 : 1,3,9 (il n'y a que trois diviseurs distincts !) et S(9)=1+3+9=13<(3+1)(3+1).

Et quand nombre appelons le q=m² ?
Si m n'est pas premier par exemple q=36=6²=(2.3)²
divisuers (entre autres) : 1, 2.3=6, 2².3=12, 2².3²=6²
S(36)>=1+2.3+2².3+2².3²>=1+2.3 +2.3+(2.3)²=(2.3+1)(2.3+1)=(6+ 1)(6+1) on retrouve là aussi la même majoration que précédemment. (Mais perso, je n'arrive pas à montrer les deux cas, à savoir m.n m, n distincts et m² avec m non premier, en même temps)

Seule une décomposition en produit q=p.p avec p premier n'aboutit pas à S(q)>=(p+1)(p+1). Ici S(q)=1+p+p²<(p+1)(p+1). Ceci est le 3ème cas dans le plus long des posts précédents.
Mais appliqué au problème, on a b=c² (avec )

S(n)= qui est censé être égal à 2n puisque n est parfait. Si on le prend par le bon bout il est très aisé de montrer que c'est impossible (parité ).

[invite2fd735b7]

Cool j'ai (presque) tout compris !!!
Mais y'a pas plus simple ?

[invite2fd735b7]

Grâce à une aide extérieure, j'ai une solution plus simple, qui utilise aussi les diviseurs mais çà va plus vite !!

S(n)=(2^a+1-1).S(b) (1)

Si a>1 et si c>1, alors 1, c et b sont 3 diviseurs distincts de b (1<c<b)
Dans ce cas,
S(b) > 1+c+b
S(b) > 1+c+(2^a+1-1)c
S(b) > 1+2^a+1.c

Avec (1), on obtient :

S(n) > (2^a+1-1).(1+2^a+1.c)

Mais il reste un problème, ce n'est pas exactement la solution que l'on demande... (ou alors je suis très mauvais en calcul...)

[invite35452583]

Avec (1), on obtient :

S(n) > (2^a+1-1).(1+2^a+1.c)

Mais il reste un problème, ce n'est pas exactement la solution que l'on demande... (ou alors je suis très mauvais en calcul...)

Oui ça va plus vite.
Mais oui ce n'est pas le résultat demandé, à moins que 1 ne soit supérieur ou égal à .
Et le cas c= qui ne vérifie pas l'inégalité doit être traité à part.

Il y a peut-être plus rapide que la méthode que je t'ai indiqué mais dans la rédaction cela se fait ainsi
d=>1 car a>1 (n pair) et c>1 par hypothèse.
c distinct de d alors il y a au moins ces 4 diviseurs : 1<c d<cd
c=d=m.n avec m,n>1 alors il y a au moins ces 4 diviseurs, 1<mn=c=d<m²n<m²n²=c.d
Dans les deux cas S(b)=S(d.c)>=1+c+d+cd=(d+1)(c+ 1)= ce qui est le résultat recherché (en le collant à S(n)=S().S(b))
Ce n'est pas si long que ça.
Reste le cas où c=d et sont premiers qui est éliminé car incompatible avec le fait que n est parfait.

[invite2fd735b7]

Ok çà roule merci beaucoup

[invite35452583]

Ok çà roule merci beaucoup

De rien.
Si tu pouvais scanner la partie 4, ça serait sympa, joli comme exercice je trouve.

[invite2fd735b7]

Partie 4 : Enoncez la propriété démontrée dans les parties 2 et 3

Voilà si il y a des amateurs en manque de maths, je vous conseille ce petit DM J'en ai aussi un sur les triplets de Pythagore si çà branche quelqu'un^^

PS : aucune difficulté pour la partie 4 quand même