[Term S] dérivation

[invitefdda9a02]

Bonjour à tous.
J'ai à faire pendant ces vacances un DM de maths composé de deux exercices. J'ai donc commencer à regarder le premier mercredi et je me retrouve bloquée.
Notre cours concernait la dérivation et nous n'avons pas du tout parler des équations différentielles, ce qui est le sujet de l'exercice. Notre prof nous a dit que nous devrions nous en sortir mais je ne vois pas très bien ce que je dois faire.
Je ne demande bien sûr pas les solutions mais est-ce que quelqu'un pourrait m'indiquer les outils pour commencer à avancer, s'il vous plaît !
Merci d'avance à tous ceux qui prendront cinq minutes pour m'aider...
Idgie.

Résoudre une équation différentielle
On note E l’ensemble des fonctions u définies et dérivables sur ]-1 ; +∞[ telles que pour tout x de ]-1 ; +∞[, (x+1) u’(x) + u(x) = 3x²+2x-1 (1)
a. Démontrer que, si u est dérivable sur ]-1 ; +∞[ et vérifie (1) alors la fonction v définie sur ]-1 ; +∞[ par v(x) = u(x) – (x²-1) vérifie pour tout x élément de ]-1 ; +∞[ , (x+1) v’(x) + v(x) = 0 (2).
b. Démontrer que si v est dérivable sur ]-1 ; +∞[ et vérifie (2) alors la fonction w définie sur ]-1 ; +∞[ par w(x) = (x+1) v(x) est constante sur ]-1 ; +∞[.
c. Déduire des résultats qui précèdent que toute fonction u de l’ensemble E peut s’écrire : pour tout x élément de ]-1 ; +∞[ , u(x) = x² -1 + k/(x+1) avec k constante réelle. Réciproquement une telle fonction appartient-elle à E ?
d. Dans un repère, on note Ck la courbe de la fonction u trouvée et Mk, s’il existe, le point de Ck où la tangente est parallèle à la droite D d’équation y = x. Démontrer que le point Mk est situé sur la parabole d’équation y = 3x² + x –2.
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[Duke Alchemist]

Bonjour.

Résoudre une équation différentielle
On note E l’ensemble des fonctions u définies et dérivables sur ]-1 ; +∞[ telles que pour tout x de ]-1 ; +∞[, (x+1) u’(x) + u(x) = 3x²+2x-1 (1)
a. Démontrer que, si u est dérivable sur ]-1 ; +∞[ et vérifie (1) alors la fonction v définie sur ]-1 ; +∞[ par v(x) = u(x) – (x²-1) vérifie pour tout x élément de ]-1 ; +∞[ , (x+1) v’(x) + v(x) = 0 (2).

Si u vérifie (1) alors (x+1) u’(x) + u(x) = 3x²+2x-1 (jusque là pas trop dur )
Pour montrer que v vérifie (2), tu dois d'abord :
- sans te tromper, dériver v(x) = u(x) – (x²-1) suivant x tu obtiens alors v'(x)
- multiplier par (x+1) le résultat obtenu
- ajouter v(x)
Si tu obtiens 0, c'est gagné !... Dans le cas contraire refais tes calculs

b. Démontrer que si v est dérivable sur ]-1 ; +∞[ et vérifie (2) alors la fonction w définie sur ]-1 ; +∞[ par w(x) = (x+1) v(x) est constante sur ]-1 ; +∞[.

Comment montres-tu qu'une fonction est constante ? (Note k cette constante... je dis ça pour la suite)

c. Déduire des résultats qui précèdent que toute fonction u de l’ensemble E peut s’écrire : pour tout x élément de ]-1 ; +∞[ , u(x) = x² -1 + k/(x+1) avec k constante réelle. Réciproquement une telle fonction appartient-elle à E ?

Tout est dit... Exprime u(x) en fonction de w(x) et de sa particularité (montrée au b.)

Duke.

[invitefdda9a02]

Je vais voir ce que je peux essayer de faire avec tes indics, merci.

[Albus]

Chaud un DM sur les équa diff sans avoir fait le cours ^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[Nox]

Bonjour Albus !

Je ne pense pas que cette remarque soit très constructive pour cette discussion, surtotu qu'on ne demande pas de résoudre directement l'équadiff mais que lénoncé guide et que c'est plus un problème calculatoire .. Il suffit d'être rigoureux dans les calculs et d'avoir compris les bases de l'analyse (comment traduit on qu'une fonction est constante, ...)

Cordialeemnt

Nox

[invitefdda9a02]

Alors Duke, grâce à tes indications, j'ai pu faire mon exercice, merci beaucoup.

Je me suis lancée dans le deuxième et mes calculs ne collent pas avec ce que je devrais obtenir...

Alors le début de l'énoncé est le suivant :
a. C est le cercle de centre Ω (1 ; 0) de rayon 1. Donner une équation de C.
b. P est la droite d’équation x = 1 et D la droite d’équation y = tx (avec réel). D coupe D au point Mo et le cercle C en O et en M1. On définit le point M par l’égalité entre les vecteurs OM et MoM1.
c. Calculer les coordonnées de Mo, M1 puis celles de M en fonction de t.
d. Quand t décrit R démontrer que les points M se trouvent sur la courbe E d’ équation (x-1)x² + (x+1)y² = 0.

Alors j'ai pu donner une équation du cercle et j'ai ensuite essayé de calculer les coordonnées du point d'intersection entre le cercle et la droite D mais mes réponses ne correspondent pas avec mon graphique...

Ensuite j'ai essayé de faire l'autre point d'intersection, avec P, mais je ne sais pas comment faire l'intersection avec une droite du type x=1.

Quelqu'un peut-il me donner une indication ?

[Duke Alchemist]

Salut idgie,

a. Qu'as-tu trouvé pour l'équation du cercle ?
(Je ne doute pas de tes capacités à trouver la réponse mais on ne sait jamais, une faute bête est si vite arrivée)

b. rien à faire

c. pour les coordonnées de M₀, quel est ton (petit) système d'équations que tu as à résoudre ?

pour les coordonnées de M₁, quel est ton système d'équations que tu as à résoudre ?

... en gros qu'as-tu trouvé ??

Duke.

[invitefdda9a02]

Alors depuis j'ai trouvé les coordonnées de Mo soit x=1 et y=t, juste ?
Sinon t'as raison j'ai peut-être tord, pour le cercle, j'ai (x-1)²+y²=1...
Et ensuite le point d'intersection entre le cercle et y=tx me pose problème justement à cause de cette équation.

[Duke Alchemist]

Re-

Pour M₀, je trouve ça
Je trouve la même équation pour le cercle.

Que trouves-tu pour les coordonnées de M₁ ?

[invitefdda9a02]

Bah justement pour M1 je m'en sors pas trop...
Je pense qu'il faut résoudre le système y=tx, y=..., justement là je sais pas trop parce que si j'essaye d'isoler y dans l'équation du cercle je me retrouve avec une racine d'une expression qui n'est pas positive sur R.
Peut-être que je me trompe complétement, je sais pas, dis moi...

[Duke Alchemist]

Bah justement pour M1 je m'en sors pas trop...
Je pense qu'il faut résoudre le système y=tx, y=..., justement là je sais pas trop parce que si j'essaye d'isoler y dans l'équation du cercle je me retrouve avec une racine d'une expression qui n'est pas positive sur R.
Peut-être que je me trompe complétement, je sais pas, dis moi...

En effet, il faut résoudre le système :
y=tx
(x-1)²+y²=1

Remplace y par tx dans la deuxième équation, tu obtiendras une équation du second degré en x facilement factorisable.
De cette expression, tu retrouveras les abscisses (et en multipliant par t les ordonnées) des deux points d'intersection (O et M₁)

Dis-moi ce que tu trouves comme expression factorisée.

[invitefdda9a02]

Alors pour les coordonnées de M1 j'ai trouvé x=2/(t²+1) et y=2t/(t²+1) et ensuite pour M j'ai x=1-2/(t²+1) et y=t-2t/(t²+1).

Si ces coordonnées sont bien justes pour la suite : "montrer que les points M se trouvent sur la courbe E d'équation...", je pense qu'il faut remplacer dans cette équation x et y par les valeurs que je viens de trouver, c'est bien ça ?

Ensuite ils me demandent d'étudier cette fonction, je l'ai donc exprimé sous une autre forme et j'ai trouvé y=x√((1-x)/(1+x)).
On me demande d'étudier la dérivabilité de cette fonction en 1. J'utilise alors la limite lorsque x tend vers 1 de [f(x)-f(1)]/(x-1) mais je bloque au moment où j'arrive à un numérateur et un dénominateur qui tendent tous les deux vers 0.

Un peu plus loin on veut les variations de cette fonction, alors pour cela je commence à chercher la dérivée de f(x), en exprimant f(x) comme la composée de deux fonctions : (1-x)/(1+x) et x√x mais lorsque je me lance dans mes calculs ça me prend une page et mon résultat ne correspond jamais avec ce que me dit ma calculatrice et je ne vois pas où je me trompe... Mon raisonnement est-il au moins juste ?

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Alors pour les coordonnées de M1 j'ai trouvé x=2/(t²+1) et y=2t/(t²+1) et ensuite pour M j'ai x=1-2/(t²+1) et y=t-2t/(t²+1).

Je suis d'accord.

Si ces coordonnées sont bien justes pour la suite : "montrer que les points M se trouvent sur la courbe E d'équation...", je pense qu'il faut remplacer dans cette équation x et y par les valeurs que je viens de trouver, c'est bien ça ?

Je vais t'avouer un truc : je n'en sais rien Je n'arrive pas à retrouver l'équation...
Si tu as trouvé, dis-moi comment tu as fait STP

Ensuite ils me demandent d'étudier cette fonction, je l'ai donc exprimé sous une autre forme et j'ai trouvé y=x√((1-x)/(1+x)).

Attention lorsque tu "prends" la racine carrée d'une telle expression, il y a apparition de l'expression que tu as proposée mais aussi son opposé : y=-x√((1-x)/(1+x))
Je ne sais pas si c'est le meilleur moyen d'y parvenir...

On me demande d'étudier la dérivabilité de cette fonction en 1. J'utilise alors la limite lorsque x tend vers 1 de [f(x)-f(1)]/(x-1) mais je bloque au moment où j'arrive à un numérateur et un dénominateur qui tendent tous les deux vers 0.

Qu'obtiens-tu comme expression ?
(Pour lever l'indétermination, il y a la factorisation par exemple)

Un peu plus loin on veut les variations de cette fonction, alors pour cela je commence à chercher la dérivée de f(x), en exprimant f(x) comme la composée de deux fonctions : (1-x)/(1+x) et x√x mais lorsque je me lance dans mes calculs ça me prend une page et mon résultat ne correspond jamais avec ce que me dit ma calculatrice et je ne vois pas où je me trompe... Mon raisonnement est-il au moins juste ?

je doute de ta composition de fonction... si tu appliques (1-x)/(1+x) à x dans x√x, ça va donner un truc du genre (1-x)/(1+x)√((1-x)/(1+x))... (Comprends-tu ce que je veux dire ??!)

Bon courage pour cette partie.

Duke.

P.S. : Je lance un appel à toute personne pouvant aider idgie (et moi-même) sur cette deuxième partie un peu obscure pour moi...

[invitefdda9a02]

Bonjour Duke
Alors pour montrer que M est sur cette courbe je n'y arrive pas, effectivement je ne retrouve pas 0, rien à faire...
Je ne suis pas arrivée à lever l'indétermination même en triturant l'expression dans tous les sens, la F.I est toujours là.
Et enfin pour la dérivée, je ne vois pas trop ce que tu veux dire mais bon je me doute bien que ce n'est pas ma solution n'est pas la bonne...
Voilà bon, j'en suis toujours là pour cette partie.

[invitefdda9a02]

Finalement j'ai compris le soucis avec ma dérivée et j'ai plutôt exprimé f(x) comme un produit de fonctions dont l'une est une composée, je crois que c'est mieux comme ça. Mais à ce moment là je n'arrive toujours pas à une expression dont je peux étudier le signe... Il reste sans doute encore une erreur mais bon...
Je me demandais par contre si pour la dérivabilité, le fait que le numérateur et le dénominateur tendent vers 0 veut-il dire que la fonction n'est pas dérviable en ce point ?

[invite35452583]

Bonjour,
Pour l'équation (E), je suggère de la changer en (x+1)x²+(x-1)y²=0 (Ca fonctionne nettement mieux)
En soustrayant celle-ci avec celle donnnée initialement on aboutit à x²=y², il n' ya donc que pour t=1 et t=-1 que les deux soient compatibles, il y a donc erreur sur l'équation (énoncé? retranscription de celui-ci?)

[invitefdda9a02]

Bonjour.
Alors j'ai bien re-vérifié mon énoncé, l'équation de E est (x-1)x² + (x+1)y² = 0.
Sinon peux-tu me ré-expliquer ce que tu as fait pour que ça fonctionne ?

[invite35452583]

Re,
sinon petite astuce pour calculer plus facilement y'.
Il n'est pas interdit de dériver l'équation (E) puis de remplacer y par l'expression trouvée grace à (E).

[invitefdda9a02]

Tu veux dire pour calculer la dérivée, je ne suis pas trop, excuse-moi.