Suite Un+1 + Un = n

[invite386b0b8b]

Bonjour !

En faisant des exercices, je suis tombé sur une suite assez étrange. J'imagine que cela ne va pas vous surprendre, mais personnellement c'est la première fois que je vois une suite pareille.

J'ai calculé les premiers termes, ce qui me donne :


et ainsi de suite... 3 / 3 / 4 / 4 / 5 / 5 / 6

J'imagine qu'après avoir trouvé une expression de Un je pourrais la prouver par récurrence. Mais pour cela il faut encore la trouver, et pour le coup je sèche.

Si vous avez quelques pistes je suis preneur !
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[gg0]

Par exemple où E est la fonction "partie entière".

Cordialement.

[invite386b0b8b]

Merci pour votre réponse !

J'aimerais juste savoir du coup, est-ce que cette relation est vraie ?



Ça me semble un peu trop beau pour être vrai. Si x et y sont des réels je pense que cela ne fonctionne pas (x = 2.5 et y = 2.5 ça nous donnerait 5 = 4 sauf erreur de ma part). Mais si x est un entier naturel ça doit pouvoir fonctionner non ?

[invite51d17075]

Mais si x est un entier naturel ça doit pouvoir fonctionner non ?

si x est un entier naturel E(x)=x, alors effectivement "ça doit pouvoir fonctionner"
dirait un humoriste.

plus sérieusement, tu n'as pas démontré que E(n/2) était la solution du sujet initial.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite386b0b8b]

Oui avec mes phrases ont à l'impression que je fais un peu au petit bonheur la chance ^^', mais dans ma récurrence je suppose que si n est pair :



Je vous montre ce sera plus parlant et ça me permettra de mettre au propre mes idées.

Soit pour tout entier naturel n :



Initialisation : Pour n = 0



H(0) est vraie

Hérédité : Fixons un entier naturel n, et supposons H(n) vraie :

Si n est pair :


(pas vraiment sûr de cette dernière étape)

Si n est impair :



H(n+1) est vraie dans tous les cas ce qui conclut la récurrence.


Je sais pas si on est obligé de traiter séparément les cas où n est pair et ceux où n est impair mais je ne voyais pas comment faire autrement.

[invite51d17075]

juste deux remarques.
certaines choses ne sont pas clairement justifiées.
même si il semble effectivement plus clair de séparer les deux cas.

Si n est pair :


(pas vraiment sûr de cette dernière étape)

ici tu ne dis pas que si n pair, alors

Si n est impair :...……...

tu n'as pas initialisé la récurrence pour n impair.
tu ne l'as fait que pour n=0.

[pm42]

Je me trompe où il n'y a pas de récurrence dans le raisonnement malgré ce qui est écrit dans la rédaction ?

[invite51d17075]

ce que tu peux dire autrement car tu montres indirectement que si vrai pour 0, alors vrai pour 0+1 impair.
encore faut il le mentionner.

[invite51d17075]

Je me trompe où il n'y a pas de récurrence dans le raisonnement malgré ce qui est écrit dans la rédaction ?

si, mais c'est assez mal dit.

[invite386b0b8b]

Du coup il faudrait faire une récurrence sur deux rangs (comme n et n+1) ? en initialisant pour n = 0 et n = 1 dans ce cas.

Oui mon professeur me disait aussi que mes récurrences étaient bizarres. En fait je n'utilise pas assez distinctement l'hypothèse de récurrence je crois (du coup ça fait brouillon).

Ce qui m'étonne c'est que l'exercice est posé dans un paragraphe consacré aux sommes télescopiques (mais il semble totalement déconnecté de ce dernier).

[invite51d17075]

oui, c'était "brouillon" effectivement. ( même si je l'ai dit autrement )
le lien avec les sommes télescopiques est peut être dans les questions suivantes ou on te demande par exemple le ?????

[invite386b0b8b]

La question est sec en fait, il n'y a rien après, d'où ma perplexité. Peut-être que l'auteur avait une autre méthode en tête ou alors il voulait ajouter une question de somme.

En tout cas merci beaucoup pour vos réponses, tout me paraît un peu plus clair maintenant ! ^^

[invite51d17075]

je ne sais pas, car le lien avec les sommes télescopiques n'est pas flagrant !
l'important est de bien rédiger ta récurrence.