Amerique du Sud, novembre 2006, Exercice 4

[Le Capitaine Jack Sparrow]

Bonjour,

Je n'arrive pas à comprendre la correction de la question 3.d. de l'exercice 4:
https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Ameriqu...S_nov_2006.pdf (sujet)
http://www.sujetsetcorriges.fr/dl/BA...mathsc-ads.pdf (correction)

"Par continuité, on a limite quand n tend vers l'infini de α_n / n = 0"
Ca je comprends, c'est parce que α_n appartient à [1, e]_, donc est assimilable à une constante. (si il y a une explication plus claire que la mienne qui n'est pas très "mathématique" je prends).
Par contre, la suite, "donc ln(l) - 1 = 0", je ne sais pas d'où ça vient.

J'aimerais que quelqu'un m'aide s'il vous plait.
Merci !
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[jacknicklaus]

Ca je comprends, c'est parce que α_n appartient à [1, e]_, donc est assimilable à une constante.

"assimilable à une constante" ca ne veut pas dire grand chose. La raison à invoquer est simplement que α_n/n est dans l'intervalle [1/n,e/n], dont les deux bornes tendent vers zéro. La limite de α_n/n est donc zéro.

Par contre, la suite, "donc ln(l) - 1 = 0", je ne sais pas d'où ça vient.

on a établi précédemment que ln(α_n) = 1 - α_n/n. Il suffit de passer cette expression à la limite n->+infini

[Le Capitaine Jack Sparrow]

D'accord merci beaucoup !

Et aussi à la fin, 4.d, je ne comprends pas.
Je comprends ça: "On peut en déduite que limite quand n tend vers l'infini de α_n = limite quand n tend vers l'infini de e(1 - e/n)", par contre je ne comprends pas la conclusion: "La suite α_n converge donc comme la suite (1/n), c'est-à-dire lentement."

Je ne comprends pas comment on peut juger de la vitesse de convergence de la suite à partir de "limite quand n tend vers l'infini de α_n = limite quand n tend vers l'infini de e(1 - e/n)" et je ne sais pas quel est le point de référence pour dire que la suite (1/n) converge "lentement".
Peut-être on utilise là une formule que je ne connais pas car je n'avais jamais vu ça avant.

Pouvez- vous m'aider s'il vous plait ?
Merci !

[albanxiii]

Bonjour,

Puisque cela veut dire que pour un très grand les deux quantités vont avoir des valeurs voisines. Le membre de droite varie comme (au signe près), donc celui de gauche aussi, quand devient assez grand.

(c'est une façon très sale d'aborder les équivalents, mais en terminale on n'a guère le choix. Je trouve qu'il serait mieux de passer par des encadrements puisqu'on n'a accès à la définition d'une limite).

[A voir en vidéo sur Futura]

[jacknicklaus]

Bonjour,

Puisque cela veut dire que pour un très grand les deux quantités vont avoir des valeurs voisines.

euh..
mais...

[Le Capitaine Jack Sparrow]

Merci pour vos réponses !

"Le membre de droite varie comme 1/n (au signe près), donc celui de gauche aussi, quand n devient assez grand."

J'imagine que vous voulez dire par là qu'ils convergent vers la même limite ? Car en ce qui concerne leur croissance, le membre de gauche est croissant alors que le membre de droite est décroissant.
Mais désolé je ne vois comment ça me renseigne pas sur "la rapidité de la convergence de la suite α_n".

Et l'exemple de Jacknicklaus montre 2 suites ayant la même limite mais dont l'une converge manifestement plus vite que l'autre.

[albanxiii]

Re,

En effet, j'ai raconté n'importe quoi. Tout ce qu'on peut dire, c'est que . Cela n'est pas au programme de terminale, mais permet de conclure sur la vitesse de convergence.

(la vitesse de convergence d'une suite peut-être vue comme le nombre de décimales exactes qu'on gagne en calculant et en comparant à la limite, à chaque fois que augmente d'une unité. Plus proprement on peut définir l'écart et regarder comment il varie lorsque augmente. Si c'est en on converge plus vite vers la limite que si c'est en par exemple).