Bonjour
Résoudre dans IR4-2x)(e-e^x)>=1 (Je ne sais pas s'il y a erreur dans l'énoncé, peut être c'est (4-2x)(e-e^x)>=0)
Premiére méthode:
Je fais un tableau de signe de (4-2x)(e-e^x) e=exp
Sur ]-oo;1] U [2;+oo[ (4-2x)(e-e^x) est positive.
Mais je ne sais pas comment déterminer x pour que 1 soit un minorant.
Deuxième méthode:
J'ai voulu étudier les variation de f(x)=(4-2x)(e-e^x).
f'(x)=-4-2e-2(e^x + xe^x)
Je n'arrive pas à déterminer le signe de f'.
Merci pour votre aide
Bonjour.
à vue de nez, l'inéquation avec 1 n'est pas du niveau lycée.
Cordialement.
PS : ta dérivée est fausse.
Oui f' est fausse.
f'(x)=-2e-2e^x+2xe^x
Bonjour et merci pour ta réponse
Peux-tu m'indiquer une piste et je verrai si j'y arrive ?à vue de nez, l'inéquation avec 1 n'est pas du niveau lycée.
L'étude de la fonction (*)amène à une dérivée dont la valeur où elle change de signe se trouve avec la fonction W de Lambert. ce qui permet de voir combien de fois la fonction change de signe, et de donner la solution, avec des bornes d'intervalles à préciser, connues approximativement.
Cordialement.
(*) x --> (4-2x)(e-exp(x))-1
Bonjour,
En faisant un mix de tout ce qui a été dit, on peut faire ceci :
étudier le signe de la fonction f(x)=(4-2x)(e - e^x)
C'est quasi immédiat :
f(x) <= 0 pour x dans [1 ; 2]
f(x) > 0 pour x < 1 et pour x > 2
f'(x) = 2(x-1).e^x - 2e
f''(x) = 2.x.e^x a le signe de x
f'(x) a donc un min pour x = 0, ce min vaut -2-2e < 0
Pour x <=1, f' est < 0 (somme de 2 valeurs négatives) --> f est décroissante sur ]-oo ; 1] et on a f(1) = 0
Pour x >= 2, f' est > 0 --> f est croissante et f(2) = 0
f(0) = 4.(e-1) > 1
f(3) = -2.(e - e³) > 1
De tout ce qui précède, on conclut que f(x) = 1 a 2 solutions, l'une (alpha) est dans ]0 ; 1[ et l'autre (beta) est ]2 ; 3[
Comme f est monotone sur ]0 ; 1[ et sur ]2 ; 3[, on peut approcher les valeurs de alpha et beta par approximations successives par exemple par la méthode dichotomique.
Les solutions de l'inéquation sont x dans ]-oo ; alpha] U [beta + oo[
mais on ne connait que des valeurs approchées de alpha et beta
Dernière modification par Black Jack 2 ; 14/02/2019 à 16h51.
Bonjour.
Tu n'as pas sérieusement étudié le signe de f', en particulier ce qui se passe entre 1 et 2. Ta rédaction ("De tout ce qui précède, on conclut ..") le montre bien. Quand on est sûr de ce qu'on fait (application stricte de règles du cours), on ne dit pas ça.
Pour l'instant, tu as seulement accumulé des connaissances sur f. On est loin d'une preuve. Et même certaines affirmations sont à justifier (les signes de f' sur les intervalles que tu choisis, le fait que f y prend la valeur 1.
Cordialement.
Bonjour,
Petit ajout sur ce qu'à dit gg0 : utilises le corollaire du théorème des valeurs intermédiaire, précise l'intervalle étudié et les intervalles de monotonie et de continuité.
Bonjour,
ggo,
Si c'est à moi que tu t'adresses, tu te trompes de cible et tu as visiblement raté ce qui se cachait dans mes explications
Je n'avais pas à faire l'exercice complet et donc pas à tout expliquer ... laisser quand même un peu réfléchir celui qui doit faire l'exercice.
Ce que j'ai dit est exact "de tout ce qui précède, on conclut que f(x) = 1 a 2 solutions, l'une (alpha) est dans ]0 ; 1[ et l'autre (beta) est ]2 ; 3["
Cela signifie seulement que tout ce qui précède permet de faire la conclusion mentionnée (sans besoin d'info complémentaires)... quitte à devoir expliquer pourquoi (ce que javais laissé à celui qui devait résoudre l'éxercice).
Mais voila pour ceux qui n'auraient pas vu :
En ayant montré que : f(x) <= 0 sur [1 ; 2] cela exclu toute solution à f(x) = 1 sur [1 ; 2]
En ayant montré que f(x) > 0 pour x < 1 et que f est décroissante sur ]-oo ; 1] et que f(1) = 0, comme lim(x--> -oo) f(x) = + oo, on a obligatoirement une et une seule solution sur ]-oo ; 1[ à f(x) = 1 ...
et en montrant que f(0) > 1, la solution mentionnée est obligatoirement dans ]0 ; 1[ , domaine dans lequel f est monotone et donc la solution peut être approchée facilement par approximations successives (dichotomie)
Mais tu peux faire appel à tout ce qu'on utilise habituellement pour le justifier à la scolaire ... tout est là pour tracer les variations de f sur ]-oo : 1] et puis sur ]0 ; 1[ ... et conclure.
Réflexion du même acabit pour montrer qu'il y a une et une seule solution à f(x) = 1 sur ]2 ; +oo[ et montrer qu'elle est dans ]2 ; 3[, tout est aussi écrit dans ma réponse pour conclure et celui qui n'y arrive pas peut, à partir de ce qui est écrit (et rien de plus), tracer le tableau de variations de f sur [2 ; +oo[, puis le restreindre sur ]2 ; 3[ et conclure.
Dernière modification par Black Jack 2 ; 18/02/2019 à 16h56.
Ah ! désolé !
Je n'avais pas vu que ce n'était pas Kaderben qui répondait. Et comme tu rédigeais comme si c'était à toi de faire l'exercice ... en reprenant des parties déjà proposées par Kaderben, je n'ai pas été alerté.
Bien évidemment, s'il y a des parties non faites, ma remarque s'applique parfaitement, puisque ne dis pas que c'est à Kaderben de la faire ... Jupiter41 semble aussi m'avoir suivi.
Comme quoi, dire ce qu'on fait est toujours préférable.
Cordialement.
Désolé aussi, j'ai effectivement suivi gg0 en pensant que c'était Kaderben, qui n'a pas montré de signe de vie depuis ta réponse d'ailleurs..., qui proposait une rédaction.
ggo, Jupiter4 ,
Aucun soucis pour moi.
Cordialement.
Bonjour
Je suis encore au stade de me documenter sur la fonction W de Lambert.en pensant que c'était Kaderben, qui n'a pas montré de signe de vie depuis ta réponse d'ailleurs..
Voilà ce que j'ai pu apprendre:
Elle sert à résoudre ce genre d'équation: xe^x=k, k réel.
Dans ce cas la solution est: x=W(k)
A part les quatre valeur particulières qui sont données, comment trouver W(k) ?
Par exemple W(2) ?
Voilà ou' j'en suis !
Comme c'est une fonction spéciale, on utilise un logiciel qui la calcule.
Cordialement.
