Pourquoi est-il plus difficile de soustraire que d'additionner ?

[andretou]

Bonjour à tous
Je me demande pour quelle raison il est plus difficile :
- de soustraire que d'additionner,
- de diviser que de multiplier,
- d'extraire une racine carrée que d'élever au carré,
- d'intégrer que de dériver.

Est-ce une curiosité de l'esprit humain, ou les opérations mathématiques ont-elles fondamentalement un sens privilégié ?

Par ailleurs, est-ce qu'une calculatrice met plus de temps et consomme plus d'énergie pour soustraire que pour additionner, pour diviser que pour multiplier, pour intégrer que pour dériver ?

Merci d'avance pour vos réponses
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[Médiat]

Bonjour,

Dans le cas addition / soustraction et multiplication / division, je ne vois aucune différence de difficulté, il doit juste y avoir une petite différence d'habitude.

Dans le cas Carré /racine carré, le premier nécessite la mise en oeuvre d'un algorithme simple, le deuxième un algorithme plus compliqué (et beaucoup moins habituel)

Dans le cas dérivation / primitivation, le premier nécessite la mise en oeuvre d'un algorithme simple, pour le deuxième il n'y a pas d'algorithme simple connu dans le cas général, mais par exemple pour les polynômes, dériver ou primitiver sont de difficulté parfaitement similaires.

[pm42]

Dans le cas addition / soustraction et multiplication / division, je ne vois aucune différence de difficulté, il doit juste y avoir une petite différence d'habitude.
Dans le cas Carré /racine carré, le premier nécessite la mise en oeuvre d'un algorithme simple, le deuxième un algorithme plus compliqué (et beaucoup moins habituel)

J'ai l'impression que dans plusieurs des cas, la différence de difficulté perçue (ou réelle) vient du changement d'ensemble.
On nous apprend l'addition dans N et elle est interne. Mais la soustraction nous fait passer dans Z.
La division fait passer à Q.

Le carré est aussi une opération interne à l'espace qu'on utilise mais la racine carrée nous fait passer dans R.
En pratique, on ne manipule jamais en entrée des irrationnels. Mais dès qu'on calcule la racine carrée de 2, c'est le cas.

Pour la dérivation, c'est la même chose : on part par définition des fonctions que nous savons exprimer à partir des courantes (polynomes, trigo, exp...)
Et on reste dans cet espace.

Mais quand on intègre, on arrive dans un espace plus vaste.

[gg0]

Bonjour.

Un microprocesseur (cœur d'une calculette ou d'un ordinateur) met le même temps pour soustraire que pour additionner (c'est la même opération de décalage de registres), et nettement plus de temps pour multiplier (succession d'additions et de décalages pour les petits nombres, FFT pour les grands nombres) et plus pour diviser (algorithme compliqué).
Pour de nombreuses calculettes, les temps peuvent être différents (calcul en BCD, l'algorithme utilisé joue), mais comme c'est quasiment immédiat, ça ne se voit pas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[jiherve]

bonjour
dans un processeur additionner ou soustraire revient à faire une addition ce qui ne demande en entier rien d'autre qu'un additionneur, pour la multiplication ou la division les algorithmes de base ne sont pas vraiment plus compliqués dans un cas comme dans l'autre.
Par ailleurs il existe des algorithmes généraux(CORDIC) qui permettent d'effectuer la plupart des opérations courantes (+,-,x,/)et pas mal d'autres(exp, log, sin,cos,atan,sqrt...) avec une complexité équivalente.
Le gain de temps est souvent obtenu par l'usage de fonction basiques câblées(multiplieur,diviseurs) capables de traiter en direct un certain nombre de bits.
JR

[Médiat]

...

Salut,

C'est une bonne remarque et l'acceptation de certains nombres en tant que tel a pris du temps, il pourrait y avoir un lien entre la difficulté historique de considérer tels ou tels entités comme nombre et la difficulté ressentie par certains, à les manier, mais il y a des contrexemples (ajouter ou soustraire 0, ou multiplier par 0, opérations que je fais de tête sans problème, alors que 0 est accepté comme nombre depuis peu).

Je reste sur l'idée que cette différence est illusoire dans le cas (+,-) et négligeable dans les cas (*,/)

De plus tous les ensembles utilisés pour ces calculs sont dénombrables.

[invite9dc7b526]

Dans les entiers la division est indéniablement plus compliquée que la multiplication puisqu'elle renvoie deux nombres (le quotient et le reste) au lieu d'un seul.

[pm42]

Je reste sur l'idée que cette différence est illusoire dans le cas (+,-) et négligeable dans les cas (*,/)

Oui, c'est aussi pour cela que je parlais de différence perçue ou réelle.
Il faudrait aussi préciser de quoi on parle : des algorithmes utilisés par les humains, par les ordinateurs ou des meilleurs possibles en terme de complexité.

Il est également possible que le cerveau humain soit plus ou moins précablé pour l'addition comme extension du dénombrement et que cela joue sur notre perception de la difficulté.

[Médiat]

Il faudrait aussi préciser de quoi on parle : des algorithmes utilisés par les humains, par les ordinateurs ou des meilleurs possibles en terme de complexité.

Dans mon premier message je parlais des algorithmes utilisés par un humain, "comment on fait".

[pm42]

Dans mon premier message je parlais des algorithmes utilisés par un humain, "comment on fait".

Ok, merci de la précision.

[invite9dc7b526]

Même dans un corps la soustraction (resp. la division) est plus compliquée que l'addition (resp. la multiplication) , puisqu'elle n'est pas associative. C'est pourquoi, alors qu'on peut calculer la somme (resp. le produit) de n nombres, on ne peut pas calculer leur différence (resp. leur quotient), qui n'a pas de signification.

[invite7b7f1ad0]

Finalement, n'y a t-il pas la distinction à faire entre difficulté et rapidité?
Pour l'être humain quelque soit la méthode de calcul, une succession de lectures et de mémorisation est nécessaire, nous possédons un certain nombre de résultats en permanence (tables de X,+,-,/) mais cela a des limites et nous devons passer à l'application d'une méthode pour obtenir un résultat.

Une machine utopique mise en marche il y a x années pourrait avoir réaliser et mémoriser un résultat astronomique de résultats pour toutes sortes de calculs et les restituer quasi immédiatement dés que l'on entre les variables, mais cette machine restera quand même toujours "limitée devant l'infini".

Sur la division (https://fr.wikipedia.org/wiki/Crit%C...isibilit%C3%A9) le nombre 333333333333333333 est à nos yeux quasi tout de suite divisible par 3 mais 3231323133 bien que plus petit demande un peu plus de temps.

[andretou]

Un microprocesseur (cœur d'une calculette ou d'un ordinateur) met le même temps pour soustraire que pour additionner (c'est la même opération de décalage de registres),

J'aimerais quand même faire une petite expérience : chronométrer le temps que met mon ordi pour additionner 1+1+1+... jusqu'à 1 milliard, puis chronométrer le temps qu'il met pour faire 1 milliard - 1-1-1-1... jusqu'à 0.
Idéalement, il faudrait insérer au début de chaque programme une instruction "top chrono", puis en fin de programme "stop chrono" + "display chrono"
Une telle instruction existe-t-elle en basic ?

[gg0]

Bien sûr, c'est de la programmation élémentaire. Vois la documentation de ton langage. mais attention à faire faire exactement le même travail, là tu pars mal, il y a une soustraction de plus.

[invite294f2a81]

bonjour: je voudrai juste donner une opinion qui me vient de l'esprit soustraire c'est enlevé par contre additionné c'est ajouté ; donc il est difficile de perdre , que de gagner voila ce que je peut donner comme idée.

[jiherve]

Bonjour
Comme déjà écrit pour un processeur soustraire ou additionner en binaire c'est kif kif:
A -B = A +(!B+1)
!B = NOT(B)
donc en calcul sur entiers la différence c'est au plus aucune, une ou deux instructions pour suivant la machine.
pour en savoir plus une petite doc sur une ALU basique :http://www.righto.com/2017/03/inside...ip-how-it.html
JR

[duduch74]

C'est peut-être parceque la façon dont nous représentons les nombres est basée sur l'addition.

Par exemple 2019 représente l'addition de 2 milliers, 1 dizaine et 9 unités.

Si nous avions une représentation des nombres basées sur la soustraction elle serait peut-être plus facile.

[invite51d17075]

c'est aussi 2020-1, soit une opération de moins
ps : et de tête, c'est celle qui me vient en premier.

[Matmat]

duduch74 parle de la représentation , par exemple les nombres romain utilisent la soustration ou l'addition dans la représentation ( CD pour 400 par exemple ) , mais pas nous .

[invite51d17075]

bien vu pour les romains, et je n'avais pas fait attention pour duduch74.

[Verdurin]

Les romains n'utilisaient guère la soustraction et écrivaient plutôt CCCC que CD.
C'est du moins ce que j'ai lu dans le livre de madame Geneviève Guitel Histoire comparée des numérations écrites .
On peut le vérifier sur les inscriptions antiques.
Et c'est aussi ce que dit Wikipédia.

[andretou]

Merci à tous pour vos réponses.
Je me demande également pourquoi est-il plus difficile de factoriser que de développer ?
Dans l'absolu, ces 2 opérations ne devraient-elles pas être équivalentes en termes d'efforts ? Pourquoi cette asymétrie pour notre cerveau ?
Par ailleurs, est-ce qu'un ordinateur réalise lui aussi plus vite un développement qu'une factorisation ?

[gg0]

Bonjour.

Pourquoi devrait-il y a voir symétrie ? Tout le monde sait qu'il est plus facile de casser une assiette en porcelaine que de la fabriquer.
Plus gênant, dans ce que tu dis, la factorisation n'est pas l'inverse d'un développement (de quoi d'ailleurs ?); c'est une multiplication, l'inversion d'une multiplication est une division. Une factorisation est bien autre chose, que ce soit en arithmétique (souvent pas possible) ou en algèbre (idem).

[Deedee81]

Salut,

C'est même pire qu'une division. Lorsqu'on effectue une multiplication, on a tout en main et l'algorithme est systématique.
Mais quand on factorise on n'a que le résultat de la multiplication et donc moins d'information. Et le fait est que "reconstruire" l'information (c'est-à-dire les nombres d'origines) est différent.... et difficile.

En théorie de la complexité on distingue ainsi le temps de calcul d'un algorithme et le temps de calcul de vérification du résultat. Le deuxième est souvent simple (polynomial ou logarithmique...) alors que le premier peut être très difficile (problèmes NP par exemple). C'est exactement le cas ici (une fois factorisé, vérifier, c'est-à-dire multiplier, est rapide)

Il faut donc distinguer (pour la question initiale) :
- les difficultés intrinsèques de certains problèmes (comme la factorisation)
- les difficultés dues à nos modes de raisonnements mentaux (différence entre soustraction, division, multiplication etc....) (**)

Les cas soulevés par Andretou sont du second type, sauf intégrale et dérivée qui est du premier type. Non seulement il est plus difficile d'intégrer (*) mais parfois même il n'existe pas de solution analytique, alors que la dérivée si.
(*) les programmes IA ou les algorithmes divers et variés qu'on retrouve dans divers programmes de calculs sont devenus très forts pour une recherche de primitive. Mais les algos derrière ne sont pas piqué des vers. Un exemple typique d'exercice pour un étudiant en informatique est d'écrire un programme de calcul symbolique des dérivées (je l'ai fait aussi, alors que je ne suivais pas ce cursus, et en Basic s'il vous plaît ), analogue d'ailleurs aux techniques de compilation !!!! Mais donner l'intégration comme exercice, ça c'est bon pour une thèse

(**) un exemple typique est réciter l'alphabet, la difficulté étant sans doute liée à la manière dont fonctionne notre mémoire : dans le sens direct facile (enfin, pour la plupart) dans le sens inverse, sans entrainement, on hésite, on est plus lent.
Un autre exemple est la comparaison de nombre. Mettez 5 boules au-dessus de trois boules, mais espacez les trois boules pour qu'elles prennent plus de place.
"Quel paquet à le plus de boules".... hé bien les jeunes enfants se trompent !!!! (jusqu'à ce que, je ne sais plus l'âge de tansition, l'enfant apprenne à inhiber la réponse instinctive basée sur la longueur). EDIT je crois qu'on utilise plutôt des barrettes de longueurs différentes.
De toute évidence notre cerveau n'est pas fait pour compter !!!!! C'est sa plasticité et nos performances cognitives qui permettent de devenir bon dans ce domaine.
D'ailleurs, les électro-encéphalogrammes montrent qu'un adulte utilise son cerveau préfrontal pour faire des calculs sauf pour de petits nombres où il utilise sa mémoire. Il n'y a pas de circuits innés dédié au calcul.

Et ces difficultés mentales combinées à nos apprentissages familiaux, sociaux et scolaires expliquent bien des facilités ou difficultés que nous avons avec certains types de calculs mentaux.

Il ne faut pas toujours chercher du côté de la difficulté mathématique

[invite452d5a24]

Bonjour,

A noter qu'en crypto, on a les fonctions à sens unique qui se calculent facilement dans un sens, mais pour les quelles, il est très difficile de calculer un antécédent.

A noter que ce n'est pas toujours le cas par exemple les fonction x, 1-x, sqrt(1-x^2), exp(1-ln(x))....
qui sont leurs propres réciproques.

Bonne journée.

[andretou]

De toute évidence notre cerveau n'est pas fait pour compter !!!!!

Les calculateurs prodiges qui "voient" instantanément le résultat d'une opération sans même l'effectuer sont d'autant plus déroutants.

[andretou]

Pourquoi devrait-il y a voir symétrie ? Tout le monde sait qu'il est plus facile de casser une assiette en porcelaine que de la fabriquer.

Tu penses donc qu'il existe un sens privilégié en mathématiques, à l'image de l'entropie en physique ? Peux-tu préciser ton idée ?

[Deedee81]

Tu penses donc qu'il existe un sens privilégié en mathématiques, à l'image de l'entropie en physique ? Peux-tu préciser ton idée ?

Voir ma réponse plus haut.

EDIT et d'ailleurs, suffit de réfléchir quelques secondes.
Si je te demande de calculer 2+5, je suppose que tu vas rapidement me dire 7.
Si je te demande quels sont les deux nombres qui donnent 7 en s'additionnant. Comment tu fais ?

C'est même pire que la factorisation discutée plus haut (solution non unique ici).

Si les problèmes étaient symétrique, ça se saurait !!!!

Les calculateurs prodiges qui "voient" instantanément le résultat d'une opération sans même l'effectuer sont d'autant plus déroutants.

Ils ne voient pas instantanément, ils doivent réfléchir eux aussi. Mais note qu'il y a deux sortes de calculateur prodige :
- Ceux qui s'entrainent pour ça. Ils mémorisent par coeur tout un tas de résultat, apprennent toutes sortes d'algorithmes de calcul mental....
Par entrainement il y a même moyen d'augmenter la capacité de la mémoire de travail (généralement très limitée).
- Ceux qui ont un comportement autistique du type "autiste savant". Ils peuvent avoir un rapport privilégié avec les nombres mais leurs capacités exceptionnelles se limitent à certains types d'opération (calculer le jour de la semaine de n'importe quelle date, capacité à multiplier de tête de grands nombres....)

[gg0]

Tu penses donc qu'il existe un sens privilégié en mathématiques, à l'image de l'entropie en physique ?

Pourquoi tout de suite les grands mot, les comparaisons grandiloquentes ?

[duduch74]

Pourquoi développer est plus facile que de factoriser ?

développer, c'est de l'ingénierie.
factoriser est de la rétro-ingénierie.