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Limite indéterminée (x^2020-2020*x+2019)/(x-1)^2



  1. #1
    Humath

    Limite indéterminée (x^2020-2020*x+2019)/(x-1)^2


    ------

    Bonjour,

    On a eu cette limite dans un DM et je suis bloqué dessus.
    Lim1 (x^2020-2020*x+2019)/(x-1)^2

    Merci d'avance ^^

    -----

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  3. #2
    gg0

    Re : Limite indéterminée (x^2020-2020*x+2019)/(x-1)^2

    Bonjour.

    Quand x tend vers 1, numérateur et dénominateur s'annulent, donc on peut simplifier la fraction par x-1; après simplification, on s'aperçoit que, à nouveau, numérateur et dénominateur s'annulent, donc on peut encore simplifier la fraction par x-1.
    Seul problème, le résultat de la division de x^2020-2020*x+2019 par (x-1)^2 est extrêmement long à écrire, pratiquement irréalisable (polynôme à 2019 termes non nuls !!).
    As-tu vu en cours la méthode de L'hospital ? Si oui, c'est la bonne méthode. Sinon, on peut utiliser le développement limité en 1 du numérateur, on encore des divisions par puissances croissantes.

    Cordialement.

  4. #3
    Médiat

    Re : Limite indéterminée (x^2020-2020*x+2019)/(x-1)^2

    Bonjour,

    Pour compléter le post de gg0, la factorisation n'est pas impossible, mais hors du champ "collège et lycée" :

    d'où le résultat.

    La méthode de L'Hospital est de loin meilleure
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  5. #4
    gg0

    Re : Limite indéterminée (x^2020-2020*x+2019)/(x-1)^2

    Effectivement !

    j'avais oublié combien la méthode de Hörner est simple avec x-1.

    Cordialement.

  6. #5
    Humath

    Re : Limite indéterminée (x^2020-2020*x+2019)/(x-1)^2

    Bonjour, d'abord merci énormément pour vos réponses. J'avais oublié de préciser que ceci est un exercice de la première du lycée, donc pas de DL, pas de Horner, règle d'hôpital non plus. Le prof l'a posé en disant qu'il y a une astuce pour le résoudre. C'est ce que j'essaye de chercher mais en vain.

    NB : je suis en L1-math mais cette exercice est à mon petit frère d'où j'essaye de le résoudre avec les outils dont il dispose.
    Merci encore !

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    gg0

    Re : Limite indéterminée (x^2020-2020*x+2019)/(x-1)^2

    Sans le carré au dénominateur, la factorisation de médiat donne un polynôme qu'on peut évaluer en 1. Je ne vois pas ici d'astuce. Quand le prof la donnera, peux-tu nous la dire ?

    Cordialement.

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  10. #7
    Médiat

    Re : Limite indéterminée (x^2020-2020*x+2019)/(x-1)^2

    Pour factoriser (sans appliquer de méthodes particulière)

    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  11. #8
    raymolk

    Re : Limite indéterminée (x^2020-2020*x+2019)/(x-1)^2

    Les deux divisions euclidiennes successives de xp - px + (p-1), puis de xp-1 + xp-2 + … + x + (1-p) par x - 1 sont vraiment « hors du champ "collège et lycée" » ?
    On ne fait pas ça en spécialité maths en terminale S ?

  12. #9
    gg0

    Re : Limite indéterminée (x^2020-2020*x+2019)/(x-1)^2

    On voyait éventuellement l'algorithme de Hörner en première S il y a 40 ans, depuis, la théorie des polynômes a disparu des programmes de première, on ne parle quasiment plus de polynômes en secondaire. Et la technique de Médiat amène à utiliser 2018 factorisations de x^n-1 (est-ce connu des élèves de première ? Déjà en 2000, en bac+1, c'était nouveau pour la plupart) et à sommer. Si c'est ça le "truc", c'est lourd !

    Les programmes de maths de première et terminale sont faciles à trouver sur Internet.

    Cordialement.

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