Limite indéterminée (x^2020-2020*x+2019)/(x-1)^2

[invite94c926af]

Bonjour,

On a eu cette limite dans un DM et je suis bloqué dessus.
Lim₁ (x^2020-2020*x+2019)/(x-1)^2

Merci d'avance ^^
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[gg0]

Bonjour.

Quand x tend vers 1, numérateur et dénominateur s'annulent, donc on peut simplifier la fraction par x-1; après simplification, on s'aperçoit que, à nouveau, numérateur et dénominateur s'annulent, donc on peut encore simplifier la fraction par x-1.
Seul problème, le résultat de la division de x^2020-2020*x+2019 par (x-1)^2 est extrêmement long à écrire, pratiquement irréalisable (polynôme à 2019 termes non nuls !!).
As-tu vu en cours la méthode de L'hospital ? Si oui, c'est la bonne méthode. Sinon, on peut utiliser le développement limité en 1 du numérateur, on encore des divisions par puissances croissantes.

Cordialement.

[Médiat]

Bonjour,

Pour compléter le post de gg0, la factorisation n'est pas impossible, mais hors du champ "collège et lycée" :

d'où le résultat.

La méthode de L'Hospital est de loin meilleure

[gg0]

Effectivement !

j'avais oublié combien la méthode de Hörner est simple avec x-1.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite94c926af]

Bonjour, d'abord merci énormément pour vos réponses. J'avais oublié de préciser que ceci est un exercice de la première du lycée, donc pas de DL, pas de Horner, règle d'hôpital non plus. Le prof l'a posé en disant qu'il y a une astuce pour le résoudre. C'est ce que j'essaye de chercher mais en vain.

NB : je suis en L1-math mais cette exercice est à mon petit frère d'où j'essaye de le résoudre avec les outils dont il dispose.
Merci encore !

[gg0]

Sans le carré au dénominateur, la factorisation de médiat donne un polynôme qu'on peut évaluer en 1. Je ne vois pas ici d'astuce. Quand le prof la donnera, peux-tu nous la dire ?

Cordialement.

[Médiat]

Pour factoriser (sans appliquer de méthodes particulière)

[raymolk]

Les deux divisions euclidiennes successives de x^p - px + (p-1), puis de x^p-1 + x^p-2 + … + x + (1-p) par x - 1 sont vraiment « hors du champ "collège et lycée" » ?
On ne fait pas ça en spécialité maths en terminale S ?

[gg0]

On voyait éventuellement l'algorithme de Hörner en première S il y a 40 ans, depuis, la théorie des polynômes a disparu des programmes de première, on ne parle quasiment plus de polynômes en secondaire. Et la technique de Médiat amène à utiliser 2018 factorisations de x^n-1 (est-ce connu des élèves de première ? Déjà en 2000, en bac+1, c'était nouveau pour la plupart) et à sommer. Si c'est ça le "truc", c'est lourd !

Les programmes de maths de première et terminale sont faciles à trouver sur Internet.

Cordialement.