Bonjour à tous,
Je pense avoir réussi les deux premières questions mais je bloque sur la 3 ème
L'ÉNONCÉ:
a) Déterminer deux réels a et b tels que :
∀x ∈ R \ {−1, 0}, 1/(x(x+1))= a/x+b/(x+1)
b) Pour n dans N∗, calculer en utilisant a) la dérivée n-ième de
f∈R\{−1,0} ﰄ→ 1/(x(x+1)).
c) Soit n dans N∗. Trouver les nombres réels x tels que : f(n)(x) = 0.
MES RÉPONSES
a) En mettant au même dénominateur on obtient
1=x(a+b)+a
donc a=1 et b=-1
b)En utilisant le a) pour calculer la dérivée première et la dérivée seconde on obtient:
f(x)=1/x - 1/(x+1)
f'(x)=1/(x+1)^2 - 1/x^2
f''(x)=2[1/x^3 - 1/(x+1)^3]
On conjecture pour n dans N*:
f(n)(x) = n * (1/x^n+1 - 1/(x+1)^n+1)*(-1)^n
c) Soit n dans N*
f(n)(x)=0 <=> n * (1/x^n+1 - 1/(x+1)^n+1)*(-1)^n=0
EPN or n=/=0 et (-1)^n=/=0
donc il faut que
1/x^n+1 - 1/(x+1)^n+1=0 <=> [(x+1)^n+1 - x^n+1]/[(x^n+1)((x+1)^n+1)]=0
<=> (x+1)^n+1 - x^n+1=0 (de la forme a^n-b^n)
<=> (x+1-x)*SOMME de k=0 à n+1 des (x+1)^(n-k)*x^k=0
<=>SOMME de k=0 à n+1 des (x+1)^(n-k)*x^k=0
<=> x=0 ou x=-1
Je ne suis pas sûr pour la c)
Merci d'avance pour votre aide
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Envoyé par Freddymercurylovesmaths 