Transitivité

[Duffman]

Slt,

Je ne sais pas si je suis au bonne endroit si non merci au modo de me redirigé, comme ont dit.

Ne possédant pas de grandes connaissances linguistique je me retrouve face a un probleme plus de définition que de mathématique.

Il est dit que malgré les apparences pour certaine égalité, dans l'ensemble des réels, la relation « est approximativement égal à » n'est pas transitive .
alors que la relation « est égal presque partout », elle, est transitive.

Pouvez vous m'expliquer svp.

merci.
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[Deedee81]

Salut,

Je suis là donc je répond, plus de précision, de rigueur ou des amendements de nos amis mathématiciens s'ils passent.
Faudra peut-être déplacer en mathématiques du supérieur, je vais essayer de rester simple.

"Approximativement égal" (notons le AE) ça veut dire que par exemple a et b ne diffèrent que d'une petite quantité considérée comme négligeable.
Mais si a AE b, et b AE c, alors la différence entre a et c pourrait être le double de la quantité considérée comme négligeable et pourrait ne plus être négligeable.
=> c'est non transitif

"égal presque partout" veut dire que c'est égal pour presque toutes les valeurs sauf un ensemble négligeable de valeurs, dans un sens précis : de mesure nulle.
(par exemple un nombre fini de réels est de mesure nulle)
Plus ici https://fr.wikipedia.org/wiki/Presque_s%C3%BBrement
(article fort abordable)
Donc f(x) et g(x) sont égaux presque partout si f(x)=g(x) pour presque tous les x au sens ci-dessus.
Et si g(x) et h(x) sont égaux presque partout, alors f(x) est aussi égal presque partout à h(x) car l'union de deux ensembles de mesure nulle (l'ensemble des points où ils ne seraient pas égaux) est un ensemble de mesure nulle.
=> c'est transitif
EDIT quelques infos utile pour savoir ce qu'on entend par mesure : https://fr.wikipedia.org/wiki/Mesure...C3%A9matiques)
l'article est assez abordable

Le premier est typique de la physique. Le deuxième moins, c'est plus "mathématique", sauf dans les développements très théoriques, j'ai déjà rencontré.

[Deedee81]

EDIT quelques infos utile pour savoir ce qu'on entend par mesure : https://fr.wikipedia.org/wiki/Mesure...C3%A9matiques)
l'article est assez abordable

L'idée est la suivante. Soit un ensemble E. Je voudrais attribuer une valeur réelle (une mesure M) à tout sous-ensemble X de E tel que : M(vide) = 0, M(X1 union X2) = M(X1) + M(X2) si X1 et X3 sont disjoints.

Simple non ?
(avec des grosses surprises, les maths ce n'est pas la physique, comme le fameux paradoxe de Banach Tarski)

[Deedee81]

avec des grosses surprises

Disons que je veux définir une mesure "géométrique", et donc que pour toute "forme" X d'un espace j'attribue une mesure M(X) (imaginons par exemple la surface d'un carré).

Il est raisonnable de dire que :
- M(X1 union X2) = M(X1) + M(X2) pour tout X1, X2 disjoints (ou pour une infinité de tels ensembles)
- M(bord d'une forme) = 0, c'est-à-dire que si un carré une surface donnée par exemple, le bord de ce ce carré, tout seul, étant infiniment fin, a une mesure nulle.
- M(X translaté) = M(X), si X est un carré de surface M, alors en déplaçant ce carré sans le déformer (translation) sa surface reste inchangée

Et bien on découvre qu'on peut faire ça dans l'ensemble R des réels. On peut le faire dans R^2 (la plan). Mais.... ça ne marche pas dans R^3 (l'espace ordinaire !!!!)
Ce qui conduit (en adoptant l'axiome du choix) a des monstruosités comme le paradoxe de Banach Tarski (on peut découper une boule et la réassembler.... en doublant son volume !!!! Notons que le découpage fait appel à des morceaux très compliqués, pires que des fractales. On peut même le faire avec un nombre fini de morceaux).

Comme d'un point de vue physique c'est une aberration (mais pas du point de vue mathématique), ça montre bien qu'il faut prendre garde à ne pas confondre math et physique

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

Je plussoie Deedee81, en ajoutant une circonstance : La relation « est approximativement égal à » est à définir de façon précise si on veut se poser la question de ses propriétés (par exemple sa transitivité). Pour un matheux, elle ne dit rien, tous les nombres sont approximativement égaux : 1000 est approximativement égal à -500 (à un million près, c'est quasiment le même nombre).

Cordialement.

[invite9dc7b526]

bien qu'elle soit très simple cette notion de transitivité n'est pas maîtrisée par tout le monde. J'utilise pour mes travaux un logiciel (mothur) qui permet de repérer des espèces biologiques dans un ensemble de séquences génétiques produites par le séquençage à haut débit. Pour ce logiciel, une "espèce" est définie par le regroupement de séquences qui diffèrent de moins de x% (x étant un paramètre, 3 par défaut). Il n'est pas venu à l'esprit de l'auteur que A peut différer de B par 3 nucléotides sur 100, B de C de la même façon, mais que A et C pouvaient différer de plus de 3%. Il se trouve que ça n'arrive pas souvent parce que le vivant est suffisamment différencié mais c'est pour moi une faute logique.

[Deedee81]

La relation « est approximativement égal à » est à définir de façon précise

Holà oui, j'avais considéré ça comme évident. Mais non.

Ca peut être "égal à epsilon près", epsilon fixé.
ou.... https://fr.wikipedia.org/wiki/Comparaison_asymptotique
pas toujours simple !

[Deedee81]

mais c'est pour moi une faute logique.

Pour moi aussi et dans certains cas on peut avoir des surprises (je ne fais pas référence spécifiquement à la génétique).
Et d'ailleurs A et C différent de plus de 3% dans ton exemple, ça doit quand même être fréquent (sauf si c'est toujours les mêmes gènes qui mutent !)

[Dicedead]

Eyyo!

D'abord la définition d'une relation (lien wiki).
Les relations que vous citez sont binaires. Une relation binaire R sur un ensemble E est transitive si:

En français:
Pour tous a, b, c appartenant à E, si a est relié à b (ie aRb) et bRc, alors aRc.

Pour revenir aux égalités, un exemple simple de relation transitive est l'égalité (normale, pas approximative). Si x = y et x = 5 alors y = 5.
La relation "est à peu près égale à" dans les réels est à définir, mais je vais supposer que vous la définissez ainsi:
Notons la où (epsilon) est un réel positif ou nul*. Ainsi

La négation de la transitivité est: il existe un triplet (a, b, c) d'éléments dans E tel que aRb et bRc mais a n'est pas relié à c, ie non aRc.
Un contre exemple dans le cas de l'à peu près égal: donc et de la même manière mais alors
Un exemple concret: posons Alors (1, 2, 3) est un exemple de triplet contrant la transitivité (un tel triplet existe alors n'est pas une relation transitive).

Croisement avec... tout le monde ci-dessus, je n'ai rien à rajouter à l'explication très claire et instructive de Deedee81 sur la seconde partie - ni à la première partie en fait hormis une définition de la relation d'à peu près égalité dans les réels.

* doit pouvoir être nul pour que l'implication tienne pour tout

[Deedee81]

Croisement avec... tout le monde ci-dessus

Mais au moins tu as eut le courage de tout formuler en LaTex

[Duffman]

Merci a vous tous pour ses explications.

libre a vous de continuer la discussion si le cœur vous en dis, moi de mon coté il faut que je digère tout ca.

ps: la traduction LaTex bug pas chez vous en se moment ?

bye

[Deedee81]

ps: la traduction LaTex bug pas chez vous en se moment ?

Si, parfois je n'ai rien. Parfois si. C'est un peu capricieux.