Problème d'exponentiel de Ts!

[hekla]

Bonjour à tous,

Au fil de mes exercices je suis tombé sur une sous-question d'exercice où je suis resté bloqué.

Voici ce qui était demandé:

Soit f(x)=(exp(x)-1)/(exp(x)+1)

1- il fallait montrer que f est une fonction paire (pas de problème)

2- Il fallait démontrer que f(2x)=2f(x)/(1+(f(x))²) (là aussi ça allait)

3- Ici, il fallait exprimer f(x+y) en fonction de f(x) et de f(y) et c'est donc là que je bloque.

Voilà merci d'avance pour votre aide
En esperant qu'il reste des courageux pendant les vacances
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[martini_bird]

1- il fallait montrer que f est une fonction paire (pas de problème)

Gloups ! Tu voulais dire impaire je suppose ?

[hekla]

oui oui désolé une faute de frappe,
il fallait bien montrer que f est impaire.
Merci Martini Bird de la correction

[nissart7831]

Salut,

pour la 3., inspire-toi de la 2 en pensant que la 3. est une généralisation de la 2.
En effet si, dans la relation de la 3., tu fais y = x, tu dois retomber sur la relation du 2.
Ca marche bien

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

Si tu multiplies haut et bas par 1/2 exp(-x/2), ça devrait t'évoquer des choses...

[hekla]

Oui nissart7831, j'ai tenté ce que tu proposes mais je n'arrive pas à mener à bien cette méthode.

Peux tu m'éclairer sur la démarche à suivre?
Je n'arrive pas à dissocier les exp(x)exp(y)

Par contre pour Jeanpaul, là je ne vois vraiment pas ce que je dois faire de cette info, j'avoue être perdu

Merci beaucoup pour votre aide
à bientot

[Nox]

Bonsoir,

L'indice de jeanpaul te mène à la solution : pour mener à bien ton calcul, il faut que tu passes par des écritures plus simples que le f(x+y) qui n'a pas une tête très sympathique...
En fait l'indice de jeanpaul sert à simplifier la fionction f. Ecris donc ce que vaut f(x) , tranforme un peu cette écriture d'apèrs l'indice de jeanpaul puis tu devrais reconnaître une des quelques formules au programme de TS. Alors ton problème sera plus simple.

Je suis un peu fatigué donc par sûr de ce que je raconte (j'aimerai bien qu'il y ait des i dans cette fonction ...)

Cordialement,

Nox

[nissart7831]

Oui nissart7831, j'ai tenté ce que tu proposes mais je n'arrive pas à mener à bien cette méthode.

Peux tu m'éclairer sur la démarche à suivre?
Je n'arrive pas à dissocier les exp(x)exp(y)

Peux tu préciser ce que tu entends par dissocier les exp(x)exp(y) ? Ou alors j'ai compris, tu essaies de trouver la relation en partant de f(x+y) et en essayant de décomposer pour pouvoir exprimer en fonction de f(x) et f(y).

Moi, j'ai adopté une approche un peu différente. C'est la 1ère qui m'est venue de suite en regardant la relation du 2. .
Il s'agit donc de montrer que :



Si c'est la voie sur laquelle tu t'es engagée, mets les détails de ton calcul pour qu'on voit ce qui te gêne.

[martini_bird]

Salut,

tu remarqueras qu'il y a une forte analogie entre ta fonction et une certaine fonction hyperbolique...

Cordialement.

[nissart7831]

Salut,

je ne connais pas précisément le programme de Ts actuellement, mais je ne suis pas persuadé qu'on y voit les fonctions hyperboliques. Donc, je ne pense pas qu'hekla puisse voir une analogie.

Mais peut être me trompe-je, tu es sans doute plus à même que moi d'y répondre, martini.

[martini_bird]

Salut,

je ne connais pas précisément le programme de Ts actuellement, mais je ne suis pas persuadé qu'on y voit les fonctions hyperboliques. Donc, je ne pense pas qu'hekla puisse voir une analogie.

Oui en effet.

Mais bon, la formule d'addition pour la tangente est connue, elle.

Cordialement.

[Nox]

Bonsoir,

Je confirme au programme de TS seulement les circulaires, et la formule d'addition de tan n'est pas forcmene texplicitment au programme (on voit suelement celles de sin et cos en premiere). Maintenant hekla a des indices

Cordialement,

Nox

[invite8e9bfb01]

Bien vu par nissart7831
C'est bien la réponse à ta question 3.

Pour la démontrer le plus simple est de démarrer par le deuxième membre.

NB: Si tu veux commencer par le premier membre (c'est un peu long) tu dois faire ceci:

* tu multiplies d'abord le numérateur et le dénominateur par 2, tu aura : [2exp(x+y) - 2]/[2exp(x+y) + 2]
* tu transformes 2exp(x+y) en : exp(x+y) + exp(x+y) , le - 2 se trouvant au numérateur par - 1 - 1 et le + 2 au dénominateur par + 1 + 1.
* tu ajoutes et tu retranches: exp(x) + exp(y) au numérateur et au dénominateur.
* Tu factorises le numérateur et le dénominateur (en sommes de deux produits).
* tu divises le numérateur et le dénominateur par le produit
[exp(x)+1][exp(y)+1]

Après des simplifications... Tu auras le résultat donné par nissart7831

Je m'exuse de ne pas te rédiger la démonstration car je ne sais pas comment utiliser les options (outils) de réponses.

J'espère que j'étais bien clair!!!

[nissart7831]

Je m'exuse de ne pas te rédiger la démonstration car je ne sais pas comment utiliser les options (outils) de réponses.

Salut,

je crois que tu lui as assez donné de détails (trop peut être ? ). Il faut qu'hekla bosse un peu quand même .

[hekla]

Désolé du temps que j'ai mis à répondre,
j'ai du m'absenter un moment (vacances en famille).

Merci à vous tous pour cette aide précieuse pour l'avance que j'essaie de prendre sur le futur programme à bosser.
Merci encore et à bientot