f(x) =-3+4e^(1/x)

[Julees]

Bonjour

J'ai un petit soucis avec un exercice : je cherche à trouver le signe de f(x) =-3+4e^(1/x) avec x=/=0

J'ai donc commencer l'équation -3+4e^(1/x) > 0 soit e^(1/x) > 3/4 soit 1/x > ln3-ln4 soit x<1/(ln3-ln4)

Un résultat qui semble correct, or f est aussi positif sur R+* quand on regarde le graph de f...
Comment faire pour trouver cet intervalle également ?

Merci d'avance pour l'aide !
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[Resartus]

Bonjour,
On ne peut passer d'une inégalité à une autre qu'en appliquant une fonction strictement monotone sur l'intervalle considéré.
Ici il est légitime d'appliquer le logarithme de chaque coté de l'inégalité, pour obtenir une inégalité équivalente

Mais cela ne l'est pas de passer à l'inverse, car la fonction y=1/x a deux branches et n'est pas monotone.
Mais on peut le faire séparément pour chaque intervalle où la fonction est monotone.
La première branche pour x négatif va donner votre solution, et la seconde pour x positif sera toujours vérifiée

[Julees]

Ah très bien merci ! Et concrètement pour rédiger les "2 branches" ca donne quoi ?

[albanxiii]

Bonjour,

Essayez, mettez vos calculs ici et on corrigera s'il y a besoin.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Julees]

1/x > ln3/4
<=>
(x>0 et 1>xln3/4 <=> x>1/ln3/4
(x<0 et 1<xln3/4 <=> x<1/ln3/4
<=>
(x>0
(x<1/ln3/4

Ca semble correct comme ca 🤔

[Black Jack 2]

1/x > ln3/4
<=>
(x>0 et 1>xln3/4 <=> x>1/ln3/4
(x<0 et 1<xln3/4 <=> x<1/ln3/4
<=>
(x>0
(x<1/ln3/4

Ca semble correct comme ca 樂

Bonjour,

Non.

f(x) =-3+4e^(1/x)

Par exemple, pour x > 0 :

Etudier les variations de f

f'(x) = ...
signe de f'(x) ... qui devrait permettre de conclure que f est décroissante.

lim(x--> +oo) f(x) = ...

Et des 2 lignes précédentes, déduire le signe de f sur R*+