Demonstration de somme compliquée :)

[Marmus1021]

Bonjour à tous ! Je bloque sur un exercice que nous a donné notre prof en terminale.
Pourriez-vous m’aider please
Il faut résoudre la question du début, mais les questions 1 et 2 sont là pour nous guider un peu.



En fait je ne comprends pas du tout comment on passe de x(n+1) a x(n+2), donc je n’ai aucune piste...
Merci beaucoup !
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[albanxiii]

Bonjour,

Pouvez-vous poster le début du raisonnement et vos calculs, qu'on voit comment vous vous y prenez et où ça bloque ?

[jacknicklaus]

Bonjour

pour info, votre exercice revient à montrer un résultat bien connu : la moyenne arithmétique de nombres positifs est supérieure ou égale à leur moyenne harmonique.

pour le 1), il faut poser soigneusement les choses.
L'initialisation est évidente, je vous la laisse.

Pour l'héridité, on affirme l'hypothèse (H) : pour tout ensemble de n+1 nombres positifs a_i telle que leur somme vaut 1, alors


et vous devez partir d'un ensemble de n+2 nombres x_i telle que leur somme vaut 1, et montrer
pour appliquer la propriété (H), il faut construire à partir des x_i un ensemble de n+1 nombres y_i telle que leur somme vaut 1
choisissez les judicieusement, sans vous casser la tête car le plus simple est le bon.
appliquez l'hypothèse (H), rajoutez aux deux côtés de l'inégalité (H), et ... voyez ce qui se passe.

pour le 2), c'est très direct. retirez le terme de droite du terme de gauche, réduisez au même dénominateur, et ... voyez ce qui se passe.