demonstration dimension d'une somme de s.e.v

[invite77420056]

bonjour à tous .

j'ai deja posté ce message mais cette fois ci c'est sur la fin de la demonstration que je bloque.

on veut montrer que
dim(F+G)= dim F + dim G - dim ( F inter G ).

voila la demonstration
...la somme F'+G est donc directe.
de F+G=F o+ G on deduit dim (F+G)=dim F' + dim G
or dim F' =dim F - dim (F inter G)

et ce sont les deux derniere lignes que je ne comprends pas c'est à dire
le passage de F+G=F o+G à dim(F+G)=dim F' +dim G

et l'egalité dim F'=dim F - dim (F inter G)

merci par avance pour vos reponses
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[invite77420056]

voila je crois avoir compris

comme la somme de F' et G est directe et que F' est un supplementaire de F inter G dans F alors
F' + ( F inter G ) =F alors F'= F - (F inter G)

donc

dim F' = dim F - dim ( F inter G )

est ce exact ou ai je oublié quelque chose?

merci par avance

[invite77420056]

ou alor j'utilise le theoreme qui dit que comme F' et F inter G sont supplementaire dans F alors on a dim F' + dim ( F inter G ) = dim F
d'ou dim F' = dim F - dim (F inter G )

quelqu'un peut il me dire lequel de mes deux raisonnements est le bon ( celui ci ou celui que j'ai ecrit dans mon message precedent).
et si aucun des deux est bon faite le moi savoir .


merci par avance

[invite642cafc1]

La dernière formulation est bonne.
La première considère des différences d'espaces vectoriels, or ce n'est pas très bien défini.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite77420056]

maintenant sachant que F' inclus F donc F' = F' inter F
ainsi F' inter G = ( F' inter F) inter G =F' inter ( F inter G )={0}
puisque F' et F inter G sont en somme directe est il equivalent alors de dire que F' inter G est inclus dans F' inter (F inter G)