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suite dimension d'une somme de s.e.v



  1. #1
    invite77420056

    suite dimension d'une somme de s.e.v


    ------

    bonjour à tous

    theoreme:

    dim(F+G)=dimF+dimG - dim(F inter G) avec F et G deux sous espaces vectoriels de E sachant que E est un K-espace vectoriel de dimension finie.

    demonstration:

    soit F' un supplementaire de F inter G dans F.montrons que F+G=F' o+ G
    il est clair que F'+G inclus dans F+G.de plus
    pour tout x appartenant à F+G il existe un unique couple (y;z) appartenant à F x G. tel que x=y+z et il existe un unique couple (y';y'') appartenant à F' x ( F inter G) tel que y = y' +y''

    d'ou x=y'+y''+z avec y' appartient à F' et y''+z appartient à G donc x appartient à F'+G

    d'ou F + G = F' + G

    or F' inter G inclus F' inter (F inter G) donc F' inter G = {0}

    la somme F' + G est donc directe


    mon premier probleme:


    pourquoi y' app à F' et y''+z app à G




    mon deuxieme probleme:


    pourquoi "or F' inter G inclus F' inter ( F inter G) donc F' inter G ={0}


    j'espere que vous pourrez m'aider


    merci par avance

    -----

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  3. #2
    God's Breath

    Re : suite dimension d'une somme de s.e.v

    Citation Envoyé par jonh35 Voir le message
    pour tout x appartenant à F+G il existe un unique couple (y;z) appartenant à F x G. tel que x=y+z et il existe un unique couple (y';y'') appartenant à F' x ( F inter G) tel que y = y' +y''

    mon premier probleme:

    pourquoi y' app à F' et y''+z app à G
    On décompose sur , donc et .

    On a définit pour que , on décompose sur cette somme directe, donc et , en particulier .
    On a bien .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  4. #3
    God's Breath

    Re : suite dimension d'une somme de s.e.v

    Citation Envoyé par jonh35 Voir le message
    mon deuxieme probleme:

    pourquoi "or F' inter G inclus F' inter ( F inter G) donc F' inter G ={0}
    On a , donc .

    Ainsi puisque et sont en somme directe.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  5. #4
    invite77420056

    Re : suite dimension d'une somme de s.e.v

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Ainsi puisque et sont en somme directe.
    pourquoi F' inter G=(F' inter F) inter G =F' inter (F inter G)={0} car F et F inter G sont en somme directe.je ne vois pas bien le passsage de l'intersection à la somme directe.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    God's Breath

    Re : suite dimension d'une somme de s.e.v

    Deux sous-espaces en somme directe ont une intersection réduite à {0}.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  8. #6
    invite77420056

    Re : suite dimension d'une somme de s.e.v

    mais pourquoi alors F' inter {0} = {0} puisque F inter G = {0}???

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