suite dimension d'une somme de s.e.v

[invite69d45bb4]

bonjour à tous

theoreme:

dim(F+G)=dimF+dimG - dim(F inter G) avec F et G deux sous espaces vectoriels de E sachant que E est un K-espace vectoriel de dimension finie.

demonstration:

soit F' un supplementaire de F inter G dans F.montrons que F+G=F' o+ G
il est clair que F'+G inclus dans F+G.de plus
pour tout x appartenant à F+G il existe un unique couple (y;z) appartenant à F x G. tel que x=y+z et il existe un unique couple (y';y'') appartenant à F' x ( F inter G) tel que y = y' +y''

d'ou x=y'+y''+z avec y' appartient à F' et y''+z appartient à G donc x appartient à F'+G

d'ou F + G = F' + G

or F' inter G inclus F' inter (F inter G) donc F' inter G = {0}

la somme F' + G est donc directe


mon premier probleme:


pourquoi y' app à F' et y''+z app à G




mon deuxieme probleme:


pourquoi "or F' inter G inclus F' inter ( F inter G) donc F' inter G ={0}


j'espere que vous pourrez m'aider


merci par avance
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[invite57a1e779]

pour tout x appartenant à F+G il existe un unique couple (y;z) appartenant à F x G. tel que x=y+z et il existe un unique couple (y';y'') appartenant à F' x ( F inter G) tel que y = y' +y''

mon premier probleme:

pourquoi y' app à F' et y''+z app à G

On décompose sur , donc et .

On a définit pour que , on décompose sur cette somme directe, donc et , en particulier .
On a bien .

[invite57a1e779]

mon deuxieme probleme:

pourquoi "or F' inter G inclus F' inter ( F inter G) donc F' inter G ={0}

On a , donc .

Ainsi puisque et sont en somme directe.

[invite69d45bb4]

Ainsi puisque et sont en somme directe.

pourquoi F' inter G=(F' inter F) inter G =F' inter (F inter G)={0} car F et F inter G sont en somme directe.je ne vois pas bien le passsage de l'intersection à la somme directe.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Deux sous-espaces en somme directe ont une intersection réduite à {0}.

[invite69d45bb4]

mais pourquoi alors F' inter {0} = {0} puisque F inter G = {0}???