Matrices nilpotentes.

[invite587a1462]

Bonsoir,

Dans un exercice, apres avoir démontré que, en dimension finie, pour toute application linéaire u de trace nulle, il existait une base dans laquelle la matrice de u avait une diagonale nulle, il faut trouver le sous espace vectoriel de Mn(K) engendré par les matrices nilpotentes.

J'ai pensé à montrer que toute matrice nilpotente était semblable à une matrice de trace nulle. Donc d'apres ce que j'ai montré avant, toute matrice nilpotente serait semblable à une matrice de diagonale nulle. Et là j'aimerai conclure que el sous espace cherché est le noyau de l'application linéaire qui a une matrice de Mn(K) donnée associe sa trace. (un tel noyau est un hyperplan).

Mais je bloque pour montrer que:

1) Toute matrice nilpotente a une trace nulle.
2) l'inclusion: ker(trace) incluse dans le sous espace engendré par les matrices nilpotentes.


Pourriez-vous m'aider?

Merci et bonne soirée!


Vincent.
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[invite587a1462]

"J'ai pensé à montrer que toute matrice nilpotente était semblable à une matrice de trace nulle. " ==> je me suis mal exprimé, je voulais dire:

"J'ai pensé à montrer que la trace de toute matrice nilpotente est nulle"

[invite642cafc1]

Les seules valeurs propres d'une matrice nilpotente sont 0 donc la trace est nulle (soit en considérant une triangularisation de la matrice, soit en considérant le polynôme caractéristique, soit...)

Pour montrer que ker(trace) est inclus dans le sous espace engendré par les matrices nilpotentes il suffit de montrer qu'une matrice à diagonale nulle est dans cet espace. En effet, les conjugués de ces dernières remplissent ker(trace) d'après le 1er résultat annoncé, et les conjugués des matrices nilpotentes sont elles aussi nilpotentes.
Et il n'est pas difficile d'écrire une matrice à diagonale nulle comme somme de deux matrices nilpotentes.