Bonsoir,
Je me demande comment on peut montrer que pour toute matrice inversible, il existe une suite d'opérations élémentaires de transvection transformant la matrice en la matrice Diag(1,....,1,D) où D est le déterminant de la matrice de départ.
Merci d'avance.
Par récurrence on fait apparaître les 1 sur la diagonale. Le dernier coefficient sera nécessairement le déterminant de la matrice.
Merci pour votre réponse.
Par récurrence sur la dimension n ??
Par récurrence sur le nombre de 1 de la diagonale.
Il s'agit de mettre en place une méthode de pivot de Gauss
Je crois que je ne vois pas très bien la méthode.
J'ai essayé de voir le procédé sur des exemples.. J'aboutis toujours à des matrices diagonales telles que l'énoncé le précise, en utilisant le pivot de Gauss et d'autres transvections, mais je ne vois pas l'algorithme général !
Merci pour votre aide.
Il suffit de remarquer que lorsqu'on remplace la matrice A par la matrice A' obtenue en ajoutant k fois la lingne i à la ligne j, cela revient à multiplier A par une matrice de transvection.Envoyé par Gunboy
Les combinaisons de lignes permettent de se ramener à la forme diagonale voulue
Oui je sais.
Cependant ce sont ces combinaisons qui me posent problème. Je commence par appliquer le pivot de Gauss, et puis je ne trouver aucun motif pour les combinaisons qui suivent.
Si tu pars de la matrice
Tu fais remplace L2 par L2-5L1, puis L3 par L3+2L1, ce qui te donne successivementpuis
Le plus difficile est de faire apparaître le 1 sur la diagonale : pour traiter la deuxième colonne, tu devras transformer le -8 en 1 qui servira de pivot pour faire apparaître les 0.
Mais tu n'as pas le droit de multiplier L2 par -1/8, tu ne peux que remplacer L2 par L2 + kLi, et il faut bien choisir la ligne Li que tu vas utiliser, et le coefficient k...
Merci pour votre réponse.
Ceci veut dire qu'il faut rendre la matrice triangulaire par la méthode de Gauss puis refaire des transvections pour la rendre diagonale ?
Le pivot de Gauss permet de rendre la matrice diagonale. Dans mon exemple, on peut très bien remplacer L1 par L1+L2/4 pour avoir un 0 au-dessus de la diagonale (et on pourrait en faire apparaître plusieurs s'il y avait plusieurs lignes.
On peut, de même avoir des 0 en-dessous de la diagonale.
J'ai beau essayé de trouver l'algorithme mais en vain
Si vous pouvez éclaircir un peu la méthode, sinon merci beaucoup pour votre aide.
Je reprends la matrice à laquelle j'étais arrivé :
Remplacement de L2 par L2 + (9/8)L3 :
Remplacement de L1 par L1 - 2L2 :
Remplacement de L3 par L3 - 8L2 :
Remplacement de L1 par L1 - (87/320)L3 :
Remplacement de L2 par L2 + (75/640)L3 :
Il te reste à interpréter ces manipulations par des multiplications par des matrices de transvections.
Je crois que j'ai une solution :
Par récurrence sur la taille de la matrice n :
On suppose qu'il existe une suite de matrices de transvections telles que, appliquées à A1, donnent une suite Diag(1,...,1,det(A1));
Pour n+1, on transforme A en une matrice telle que la 1ère ligne et colonne sont nulles sauf a11 = 1. et on considère la matrice intérieure A1 de taille n qui est inversible (rg(A)=rg(A1)+1 d'où rg(A1)=n), et on applique sur A1 l'hypothèse au rang n et on ainsi A transformée en Diag(1,...,1,det(A1)=det(A)).
Est-ce correct ?
Oui, c'est une méthode. Il reste à effectuer la première transformation sur A pour amorcer la récurrence...
Apparemment ça ne mène nul part. Je ne peux pas trouver une méthode générale pour se ramener à une matrice telle que la 1ère ligne et colonne sont nulles sauf a11 = 1. Est-ce que ça existe ?
Je crois que cela demande aussi une autre récurrence pour montrer que toute matrice inversible peut se ramener à cette forme.. Je vais l'essayer.
Le problème est d'avoir a11=1, parce qu'à partir de là, on a un pivot pour annuler les autres éléments de la première ligne et de la première colonne.
