Partie ouverte !

[invitecbade190]

Bonjour à toutes et à tous :
Soit muni de la topologie associée à la metrique usuelle, telle que :

Alors :
:
Je voudrais savoir pourquoi : n'est pas ouvert ?
Merci d'avance !
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[invite40ab0cad]

J'ai de vagues souvenirs en topologie. Mais sauf erreur parce qu'une intersection de fermé est un fermé. Et comme B(x,r) est ouvert, son complémentaire est un fermé.

[invitecbade190]

Oui, mais s'il est fermé celà ne veut pas dire qu'il n'est pas ouvert !
Parceque , il y'a même des topologies de sous ensembles qui sont à la fois ouverts et fermé ! c'est le cas par exemple de la topologie discrète !

[invite57a1e779]

Oui, mais s'il est fermé celà ne veut pas dire qu'il n'est pas ouvert !

Oui, mais muni de la topologie usuelle est connexe.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flyingsquirrel]

Je voudrais savoir pourquoi : n'est pas ouvert ?

Par exemple dans on peut regarder ... Peut-on trouver un intervalle ouvert contenant 1 et qui soit contenu dans ?

[invite642cafc1]

Commençons par remarquer quelques imprécisions au départ :

Bonjour à toutes et à tous :
Soit muni de la topologie associée à la metrique usuelle, telle que :

Non, T contient d'autres parties que celles-ci. A droite de cette égalité ne figure que les éléments d'une base d'ouverts.

Alors :
:

Le "Alors" est bizarre puisque au-dessus tout élément de T est union d'un seul de ces ouverts de base.
Si on réécrit proprement on a T est l'ensemble des parties A de la forme :

Ensuite

Je voudrais savoir pourquoi : n'est pas ouvert ?
Merci d'avance !

Ce dernier ensemble est fermé, or R^k est connexe, donc ne peut être ouvert que s'il vaut R^k ou est vide.

EDIT : grillé par God's Breath pour la dernière partie.

[invitecbade190]

Merci à vous tous pour ces precisions !
Oui, il suffit de voir que est connexe , et les seules parties à la fois ouvertes et fermées de sont et .
Cordialement !