Application ouverte

[invite4ea3b8ec]

Bonsoir,
j'ai E, F des evn, F est de dimension finie.
on prend f dans L(E,F), je dois montrer que f est surjective ssi elle est ouverte.

ma question est : l'application f est ouverte si l'image d'une partie de E par f est une partie ouverte de F ?
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[invite35452583]

Bonsoir,
j'ai E, F des evn, F est de dimension finie.
on prend f dans L(E,F), je dois montrer que f est surjective ssi elle est ouverte.

ma question est : l'application f est ouverte si l'image d'une partie de E par f est une partie ouverte de F ?

La partie de E est ouverte quand même.
Sinon oui c'est ça.

[invite4ea3b8ec]

ok...
pas facile facile

[invite35452583]

Une petite aide ?

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f ouverte=> f surjective
f(E) a une propriété topologique et une propriété algébrique, la combianison des deux imposent que f(E)=F car F est de dimension finie.

f surjective=> f ouverte
i) se ramener à un voisinage de 0 dans F
ii) exhiber un sev E' bien choisi de E tel que f_lE' : E'->F soit un isomorphisme, en déduire que f(voisinage de 0 dans E)=voisinage de 0 dans F.

[A voir en vidéo sur Futura]