Simplification de arc tangente

[Marmus1021]

Bonjour !
J'ai trouvé un exercice qui demande de simplifier arctan(1−x / 1+x).
Je me suis rappelé la formule arctan(a) - arctan(b) = arctan( a-b / 1+ab ), donc ici j'ai arctan( 1-x /1+x ) = arctan(1) - arctan(x) = ∏/4 - arctan(x) ( pour x différent de -1 ).

Mais je vois dans la correction qu'ils font une disjonction de cas pour x < -1 et x > -1. Pour x>-1, ils ont le même résultat que moi, et pour x<-1, la solution est -3∏/4 - arctan(x).
Je ne comprends pas comment on trouve ces deux cas ? arctan(1) est bien égal à ∏/4 non ?

Merci d'avance pour votre aide
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[gg0]

Bonjour.

Tu devrais vérifier ta formule arctan(a) - arctan(b) = arctan( a-b / 1+ab ). Elle n'est pas toujours valide.
Regarde aussi la courbe de arctan((1-x)/(1+x)).

Cordialement.

[Marmus1021]

Bonsoir.
J'ai essayé de redémontrer la formule, et j'ai l'impression qu'elle ne fonctionne que pour a et b appartenant à ]-1;1[. Donc pour x compris entre -1 et 1, mon résultat fonctionne bien, mais donc je ne comprends pas comment on trouve ensuite sur le reste de R... Et en regardant la courbe, je vois bien que c'est en -1 qu'il y a un problème, car la limite à gauche est -∏/2 et la limite à droite est ∏/2.

[gg0]

Posons . Donc on a


Alors

et donc


Qui ne sera égal à que si est strictement compris entre et . Et évidemment, on avait déjà vérifié au départ que .

Si a et b sont positifs, pas de problème, leurs arctan sont entre 0 et , leur différence aussi. Même chose si a et b sont négatifs. Par contre, si a et b sont de signes contraires, la situation se complique.

Pour ma part, si j'avais à faire cet exercice, je reprendrais ce schéma de preuve en posant y= arctan(x).

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]