Produit matriciel

[Marmus1021]

Bonjour !
J'ai eu l'exercice suivant, que je n'arrive pas à résoudre très rigoureusement.
Soient A et E_ij deux matrices carrées d'ordre n. Trouver l'expression de A x E_ij, et de E_ij x A.

Je suppose qu'il faut donner le terme général de ces matrices. J'ai posé A = (a_qr), pour q et r allant de 1 à n , et E_ij = (e_rs), pour r et s allant de 1 à n.
Donc pour la première, le terme général c_qs est la somme des a_qr * e_rs. Or par définition de la matrice E_ij, tous les termes e_rs sont nuls sauf pour r=i et s=j, où c'est égal à 1. Donc A x E_ij = (c_qs = a_qi), pour q et i allant de 1 à n.
Ca veut dire que on prend les valeurs de A de la i^ème colonne, et on les met dans la j^ème colonne de la matrice obtenue.

Mais bon j'ai l'impression qu'il y a un problème, et puis je m'embrouille avec les différents indices (j'ai du réecrire ce post plusieurs fois). Il n'y a pas un moyen plus simple et plus "beau" de résoudre cela ?
Merci d'avance.
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[gg0]

Bonjour.

Comme un seul terme (d'indices i et j) est non nul, la somme dans le produit n'est pas nulle seulement si e_ij y figure. Quand-est-ce que ça arrive ?

Cordialement.

NB : fais des essais sur des matrices 3x3 et 4x4 pour bien comprendre.