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1p^1+2p^2+3p^3... = 0,5



  1. #1
    Kiraxel

    1p^1+2p^2+3p^3... = 0,5


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    Bonjour,

    Ce n'est pas un exercice scolaire, c'est juste moi qui essayais de résoudre ça par plaisir.

    Je voulais trouver la valeur de p telle que la limite de :

    1p1 + 2p2 + 3p3 + 4p4 + 5p5 ... = 0,5.


    Je me suis suit dit que je pouvais définir une suite

    Un = Un-1 + npn

    Et que la limite de cette suite lorsque n tend vers l'infini, tend vers 0,5.

    Mais après je ne sais pas comment trouver la valeur de p.

    Je peux l'encadrer avec Excel, mais j'aurais aimé la valeur exacte.

    Vous auriez une astuce ?

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  3. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : 1p^1+2p^2+3p^3... = 0,5

    Bonjour.

    C'est assez élémentaire, disons niveau L1 maths. La somme des est classique et connue. Pour te laisser le plaisir de la trouver, je te propose de dériver les deux termes de l'égalité

    et d'en déduire la valeur de

    (puis tu pourras remplacer x par p si tu préfères).
    Il ne te restera plus qu'à résoudre ou, si tu préfères

    Amuse-toi bien !

  4. #3
    Kiraxel

    Re : 1p^1+2p^2+3p^3... = 0,5

    Ah merci j'ai trouvé.

    Je pense que je n'y serais jamais arrivé sans aide.

    De plus, je n'avais pas remarqué qu'il y avait deux solutions possibles pour l'équation.

    Merci beaucoup.

  5. #4
    Merlin95

    Re : 1p^1+2p^2+3p^3... = 0,5

    Autre solution sans dériver.

    Soit S(p) la somme recherchée.

    Tu as 1 + (1-p) S(p) = 1+p+p^2... = 1/(1-p)
    D'où

    S(p) = p/(1-p)^2
    « Il y a 3 sortes de gens au monde : ceux qui savent compter et ceux qui ne savent pas. »

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Kiraxel

    Re : 1p^1+2p^2+3p^3... = 0,5

    Bah ça m'a fait réviser mes dérivées de fonction composées !

    On devrait forcer tous les citoyens Français à réviser les dérivées de fonctions composées, une fois tous les 3 mois.

    C'est utile et ça ferait suer les sportifs.

  8. #6
    Deedee81
    Modérateur

    Re : 1p^1+2p^2+3p^3... = 0,5

    Salut,

    Citation Envoyé par Kiraxel Voir le message
    On devrait forcer tous les citoyens Français à réviser les dérivées de fonctions composées, une fois tous les 3 mois.
    Pffff, c'est ça, et nous, on nous oublie.

    Keep it simple stupid

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  10. #7
    Merlin95

    Re : 1p^1+2p^2+3p^3... = 0,5

    https://www.nouvelobs.com/sciences/2...e-cerveau.html

    Du coup je propose de même de résoudre par une méthode :

    1p1 + 4p2 + 9p3 + 16p4 + 25p5 ... = ?
    Dernière modification par Merlin95 ; 13/06/2021 à 22h03.
    « Il y a 3 sortes de gens au monde : ceux qui savent compter et ceux qui ne savent pas. »