1p^1+2p^2+3p^3... = 0,5

[Kiraxel]

Bonjour,

Ce n'est pas un exercice scolaire, c'est juste moi qui essayais de résoudre ça par plaisir.

Je voulais trouver la valeur de p telle que la limite de :

1p¹ + 2p² + 3p³ + 4p⁴ + 5p⁵ ... = 0,5.


Je me suis suit dit que je pouvais définir une suite

Un = Un-1 + npⁿ

Et que la limite de cette suite lorsque n tend vers l'infini, tend vers 0,5.

Mais après je ne sais pas comment trouver la valeur de p.

Je peux l'encadrer avec Excel, mais j'aurais aimé la valeur exacte.

Vous auriez une astuce ?
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[gg0]

Bonjour.

C'est assez élémentaire, disons niveau L1 maths. La somme des est classique et connue. Pour te laisser le plaisir de la trouver, je te propose de dériver les deux termes de l'égalité

et d'en déduire la valeur de

(puis tu pourras remplacer x par p si tu préfères).
Il ne te restera plus qu'à résoudre ou, si tu préfères

Amuse-toi bien !

[Kiraxel]

Ah merci j'ai trouvé.

Je pense que je n'y serais jamais arrivé sans aide.

De plus, je n'avais pas remarqué qu'il y avait deux solutions possibles pour l'équation.

Merci beaucoup.

[Merlin95]

Autre solution sans dériver.

Soit S(p) la somme recherchée.

Tu as 1 + (1-p) S(p) = 1+p+p^2... = 1/(1-p)
D'où

S(p) = p/(1-p)^2

[A voir en vidéo sur Futura]

[Kiraxel]

Bah ça m'a fait réviser mes dérivées de fonction composées !

On devrait forcer tous les citoyens Français à réviser les dérivées de fonctions composées, une fois tous les 3 mois.

C'est utile et ça ferait suer les sportifs.

[Deedee81]

Salut,

On devrait forcer tous les citoyens Français à réviser les dérivées de fonctions composées, une fois tous les 3 mois.

Pffff, c'est ça, et nous, on nous oublie.

[Merlin95]

https://www.nouvelobs.com/sciences/2...e-cerveau.html

Du coup je propose de même de résoudre par une méthode :

1p¹ + 4p² + 9p³ + 16p⁴ + 25p⁵ ... = ?