Question Grand Oral Maths

[Mathis30]

Bonjour,

j'ai un doute à propos d'un point de mon grand oral de maths.

Mon sujet est : comment déterminer précisément*le nombre e ?

ma prof m'a dit qu'il fallait que je parle des développements*limités de fonction. D'après ce que j'ai compris, les développements limités permettent d'approximer des fonctions*au voisinage d'un point en les exprimant*sous une forme polynomiale.*

Toutes les démonstrations que j'ai vu sur internet parlent du développement limité de l'exponentielle en 0 (et non en 1).*On obtient exp(x)= Σ (de k allant de 0 à+∞) x^k / k!

Ma question est de savoir si cette formule est vraie seulement au voisinage de 0 ou je peux l'utiliser*en 1. Je ne sais pas si c'est clair*mais je veux calculer l'image de 1 exp(1) pour pouvoir calculer e. Car exp(1) = e*. J'aurai donc e = exp(1) =*Σ (de k allant de 0 à +∞) 1 / k!*Est-ce mathématiquement correct ?

Merci d'avance pour vos réponse*
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[pm42]

C'est une très bonne question. Suivant les fonctions, on peut en effet utiliser ce genre développement sur un intervalle plus ou moins grand, c'est le concept de rayon de convergence que tu verras peut-être plus tard dans tes études.

Pour l'exponentielle, ce rayon est infini ce qui veut dire que tu peux utiliser cette formule pour n'importe quel nombre et donc pour 1.

[Mathis30]

D'accord, merci beaucoup pour votre réponse !

[Mathis30]

Bonjour,
je viens de poser la même question à ma prof de maths et elle m'a dit que si je faisait un DL en 0 je ne pouvais pas ensuite écrire exp(1) car 1 était trop loin de 0. Désolé de demander ça mais êtes vous sûr que le rayon infini de convergence de l'exponentielle me permet de le faire ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[pm42]

je viens de poser la même question à ma prof de maths et elle m'a dit que si je faisait un DL en 0 je ne pouvais pas ensuite écrire exp(1) car 1 était trop loin de 0. Désolé de demander ça mais êtes vous sûr que le rayon infini de convergence de l'exponentielle me permet de le faire ?

Oui, c'est même dans Wikipedia : https://fr.wikipedia.org/wiki/Formul...logarithmiques

Et vu que c'est vrai pour tous les nombres complexes, c'est vrai pour les réels.

[albanxiii]

Bonjour,

Une petite remarque. Votre prof attendait peut-être l'expression "série entière", car on parle de rayon de convergence pour les séries entières et pas pour les DL.
Avec les DL on est beaucoup plus vague, puisqu'on travaille au voisinage d'un point (et dans les réels, un voisinage de 1 peut être ] 0.9999999 : 1.000001 [ aussi bien que R tout entier).

[Mathis30]

Ok merci, donc une fois que j'ai obtenu exp(x)= Σ (de k allant de 0 à+∞) x^k / k! je dis "comme le rayon de convergence de l'exponentielle est infini je peux appliquer la formule en n'importe quel nombre et donc en 1. d'où e = exp(1) =*Σ (de k allant de 0 à +∞) 1 / k! "

[albanxiii]

Oui. En passant sous silence toutes le difficultés, mais oui.