Nombres premiers jumeaux et divisibilité

[Malefix]

Bonjour à tous,

Je suis face à un résultat que je ne sais pas démontrer concernant les nombres premiers jumeaux.

Soit la somme des diviseurs de n et (p1;p2) un couple de nombres premiers jumeaux tel que p2 = 2+p1.
On ajoute le chiffre 0 à la fin de p1, on note ce nouveau nombre p1'.
On calcule ensuite : .

Le résultat obtenu est toujours 1.

Exemple avec les nombres premiers jumeaux 17 et 19. Ici p1=17 et p2=19.
On ajoute 0 à la fin de 17, on obtient le nombre 170.
On calcule le reste de la division euclidienne de par 19, on obtient .

J'ai testé avec des nombres qui ne sont pas premiers jumeaux et ça ne donne pas 1. Donc apparemment c'est une propriété des nombres premiers jumeaux.

Est-ce facile à démontrer maintenant ?

Merci.
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[choom]

Bonjour à tous,

Je suis face à un résultat que je ne sais pas démontrer concernant les nombres premiers jumeaux.

Soit la somme des diviseurs de n et (p1;p2) un couple de nombres premiers jumeaux tel que p2 = 2+p1.
On ajoute le chiffre 0 à la fin de p1, on note ce nouveau nombre p1'.
On calcule ensuite : .

Le résultat obtenu est toujours 1.

Exemple avec les nombres premiers jumeaux 17 et 19. Ici p1=17 et p2=19.
On ajoute 0 à la fin de 17, on obtient le nombre 170.
On calcule le reste de la division euclidienne de par 19, on obtient .

J'ai testé avec des nombres qui ne sont pas premiers jumeaux et ça ne donne pas 1. Donc apparemment c'est une propriété des nombres premiers jumeaux.

Est-ce facile à démontrer maintenant ?
Merci.

Bonjour.
Ajouter un 0 à la fin de l’écriture d’un entier revient à le multiplier par 10, soit donc créer, dans le cas d’un nombre premier, qui n’a par définition aucun diviseur autre que 1 et lui-même, un nombre qui n’aura comme vrais diviseurs que 2 et 5, dont la somme fera toujours 7. Et 2^7 = 128 , et non pas 324 comme dans ton exemple Mais peut-être me suis-je trompé quelque part ?

[Malefix]

Bonjour choom,

En fait la somme des diviseurs de 170 c'est bien 324. Je pense que tu t'es trompé quelque part.
Par exemple 170 a bien plus que 2 diviseurs, il en a 8.

[choom]

Bonjour choom,

En fait la somme des diviseurs de 170 c'est bien 324. Je pense que tu t'es trompé quelque part.
Par exemple 170 a bien plus que 2 diviseurs, il en a 8.

Merci de ta réponse, mais peux-tu préciser ces 8 diviseurs, car moi je ne vois que 2, 5, et 17 que j’avais oublié de reprendre.
À moi que tu ne te restreignes PAS aux diviseurs premiers non triviaux comme moi je l’avais interprété , alors on peut en effet ajouter 2x5, 2x17, et 5x17 et bien sur 1 et 170 lui même, ce qui fait bien 324 au total en effet. Je t’avais mal compris.
Choom.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Malefix]

170 a comme diviseurs 1, 2, 5, 10, 17, 34, 85 et 170, ça fait bien 324.

Donc 2^324 modulo 19 = 1.

C'est la propriété que je cherche à démontrer pour tous les couples de nombres premiers jumeaux.

[gg0]

Bonjour.

Notons n et n+2 les deux premiers. La somme des diviseurs de 10n est 18(n+1), et 2^(n+1) est congru à 1 modulo n+2.

Cordialement.

NB sauf erreur de ma part, je suis à peine réveillé.

[Médiat]

Bonjour,

C'est une conséquence immédiate du petit théorème de Fermat

[Malefix]

Merci pour vos réponses, je comprends mieux.