ε(Ω) signification

[Flond]

Bonjour,

Je ne comprends pas très bien une notation dans mon cour de probabilités : l'univers des possibles est noté Ω, mais semble parfois être substitué sans raisons apparente à ε(Ω).
Il me semble aussi que Ω peut aussi être considéré comme un évènement: l'évènement certain. Je pensais donc que ε(Ω) signifiait : "Ω en tant qu'univers des possibles et pas en tant qu'évènement".

Mais une propriété du cours m'en fait douter : " si Ω est fini, ε(Ω)=P(Ω)" (avec P(Ω) l'ensemble des parties de Ω)

Normalement si card(Ω)=n => card(P(Ω))=2^n
Donc on ne peut pas avoir Ω=P(Ω), donc pas ε(Ω)=Ω même en tant qu'univers.

Au final je ne comprends absolument pas ce qu'est "ε(Ω)", il me semble simplement que c'est un ensemble.
Merci de votre aide !
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[gg0]

Bonjour.

Ω est l'ensemble des événements élémentaires. Des "issues", des possibilités, des "possibles". Et plus généralement est un ensemble.
Les événements sont des parties de Ω. Si Ω est petit, en particulier fini, on peut considérer que les événements sont toutes les parties de Ω. Mais ce n'est pas possible dans les "gros" ensembles infinis, ou même pas nécessaire, ou pas utile. On définit alors un ensemble de parties de Ω comme l'ensemble des événements, c'est sans doute la signification de ton ε(Ω) (sans le cours lui-même, je ne peux pas être formel)
Cet ensemble de parties de Ω doit avoir un certain nombre de propriétés pour qu'on puisse définir correctement les probabilités d'événements, on dit que c'est une tribu. Si T est une tribu, les propriétés sont (se souvenir que T est un ensemble de parties de Ω):
* l'ensemble vide appartient à T
* si A appartient à T, le complémentaire Ω-A appartient à T
* la réunion d'un ensemble fini ou infini dénombrable d'éléments de T est un élément de T.
et des conséquences de ces propriétés, comme par exemple que Ω, le complémentaire de l'ensemble vide est un élément de T.

Mon conseil : relis bien ton cours (*) pour voir comment apparaît ε(Ω). Tu devrais retrouver ça, éventuellement simplifié.

Cordialement.

(*) si ce ne sont pas des notes prises au vol.

[Flond]

Bonjour et merci pour votre réponse.

D'après les trois axiomes que vous présentez, la tribu de parties de Ω est dans mon cours appelé Classe C (dans la définition de l'espace probabilisable (Ω,C)).
Je dois alors à considérer ε(Ω) comme une classe de Ω ?
J'ai bien relu mon cour et la première apparition de ε(Ω) est dans la propriété : " Si Ω est fini, chaque A est inclus dans Ω => ε(Ω)=P(Ω)".
Donc si je vous comprends bien, et d'après cette phrase, ε(Ω) est "l'ensemble des évènements de Ω".
Mais alors cela voudrait dire que si Ω est infini : P(Ω), qui est l'ensemble des parties de Ω, est plus grand que l'ensemble des évènements ε(Ω) et on a ε(Ω) inclus dans P(Ω) ?
Donc dans un univers infini, l'ensemble des parties de cet univers est plus grand que l'ensemble des évènements ? Donc certaines parties de Ω ne sont pas des évènements ? Alors que sont elles ?

Par ailleurs, parler d'un ensemble "infini" revient-il à parler d'un évènement "indénombrable" ?

Merci en tout cas, Cordialement

[gg0]

Bonjour.

C'est bien cela, à priori une partie de l'univers peut ne pas être un événement. Il te faudra faire plus de maths pour comprendre pourquoi.
Attention, un ensemble dénombrable est généralement infini.

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Indénombrable veut dire "qu'on ne peut pas mettre en bijection avec l'ensemble des entiers. Qui est déjà infini.

[gg0]

Maintenant que je suis sur ordinateur, quelques compléments.

* " Si Ω est fini, chaque A est inclus dans Ω => ε(Ω)=P(Ω)". Attention, ce n'est pas un théorème, mais une facilité. Même dans un ensemble Ω fini, on peut travailler sur une tribu qui n'est pas p(Ω). Mais comme il est souvent facile de prolonger la probabilité à tous les éléments de Ω, on prend alors comme tribu l'ensemble des parties de Ω.
* sur une question concrète, on a souvent diverses possibilités de choix de Ω, et des lois différentes sur ces possibilités, mais qui donneront, pour les événements qui nous intéressent le même résultat.
* les événements qui nous intéressent vont décider de la façon dont on définit la tribu. Inutile d'ajouter des événements sans utilité. Un cas classique est celui d'une probabilité continue sur [0,1], où la plupart des sous-ensembles de [0,1] n'interviendront pas. on ne va s'intéresser qu'à des intervalles (éventuellement réduits à un point), des réunions finies d'intervalles, à la limite une réunion dénombrable d'intervalles.
* Attention à ne pas sur-interpréter les phrases mathématiques (*) comme quand tu écris "Mais alors cela voudrait dire que si Ω est infini : P(Ω), qui est l'ensemble des parties de Ω, est plus grand que l'ensemble des évènements ε(Ω) ..." Surtout que les événement étant des parties de Ω, ta conclusion est une évidence ! Un ensemble de parties est toujours contenu dans l'ensemble de toutes les parties. Mais toi tu étendais une phrase parlant de Ω fini à une conséquence sur Ω infini, ce qui est très malsain.

Cordialement.

(*) elle ne disent que ce qu'il y a dedans.