Signification de f(x)=O(x^-a)

[invite5a9a6b90]

bonjour,
je n'ai jamais saisi la signification du "O( ...)", je remarque que en TD notre professeur l'utilise beaucoup pour déterminer la convergence d'une intégrale en utilisant le critère de Riemann. J'ai donc jeté un coup d'oeil à mon cours pour essayer de comprendre, je ne sais pas si cela à avoir avec les développement limités mais si c'est le cas, je n'ai jamais vraiment compris les DL, je ne faisais qu'apprendre les DL en 0 des fonctions usuelles. je sais calculer des limites en utilisant les DL mais jamais vraiment compris la logique.
Si quelqu'un pouvait m'éclairer, ça serait sympa.
je vous donne un exemple d'application que je n'ai pas compris :

déterminer si l'intégrale converge ou diverge : Intergrale de 0 a l'infini de (t-1)/(exp(t)-e) dt

corrigé :

les singularités sont en l'infini et éventuellement en 1
en l'infini (t-1)/(exp(t)-e) ~ t/exp(t)=O(1/t²) par croissance comparé il y a convergence

voila je ne comprends pas la signification de ce "O(1/t²)"

merci d'avance pour votre aide
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[gg0]

Bonjour.

Il te faut une définition précise (formelle), tu peux la trouver ici :http://fr.wikipedia.org/wiki/Comparaison_asymptotique (regarde "domination") par exemple.
Ensuite, c'est un bon exercice de justifier tous les O(..) de ton prof et de regarder si on pourrait utiliser de 0(..).

Bonne réflexion.

NB : C'est un peu surprenant que ton prof ne l'aie pas présenté avant les développements limités. A moins que tu démarres dans un niveau où c'est supposé connu.

[inviteea028771]

Une fonction f est un grand O de 1/t² en +oo, si elle tend au moins aussi vite que 1/t² vers 0. De manière formelle :

, avec qui est bornée quand t tend vers l'infini

De même, une fonction f est un petit o de 1/t², si elle tend plus vite vers 0 que 1/t².

, avec qui tend vers 0 quand t tend vers l'infini



Ici, avec qui tend sans problème vers 0, t/e^t est donc un petit o de 1/t² (et donc un grand O)


Edit : la notation o et O est toujours relativement à un point (ici +oo)

Par exemple, e^t = 1+O(t) n'est vrai que en 0

[invite5a9a6b90]

gg0 : oui je pense que le prof a supposé qu'on connaissait déjà. Bon c'est toujours un peu comme ça à la fac, certains prof pensent qu'on sait déjà tout
sinon merci à vous deux, je vais essayé d'étutier ça

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