Demande d'avis sur un devoir

[ulyss]

Bonjour,

Je recherche un prof de maths de lycée qui pourrait me donner un avis sur un devoir que j'ai conçu.
Un avis sur le côté pédagogique, à savoir si c'est accessible pour des premières ou des terminales spécialité maths.
Il s'agit d'un travail sur les équations cubiques avec la méthode de Cardan, c'est quelque chose de classique.
Si quelqu'un est intéressé, répondez moi et je vous enverrai le sujet en MP.
J'aimerais vraiment avoir un retour d'un enseignant en lycée, qui serait au fait des capacités des élèves à ce niveau.

Merci d'avance pour vos réponses.
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[gg0]

Bonjour.

Tu enseignes les maths à des premières et des terminales ? Si oui, tu connais tes élèves et tu peux savoir ce qui leur est adapté. Si ce n'est pas le cas, parler d'un "devoir" n'a aucune signification.

Cordialement.

[ulyss]

Excusez moi gg0, dois je comprendre que vous êtes vous même enseignant en mathématiques et que vous refusez de donner un avis qui porte sur des exercices, dans une rubrique qui s'appelle justement "Mathématiques du collège et du lycée" ?

J'ai été prof de math devant des classes dans le passé, je ne le suis plus présentement, mais il m'arrive de garder une envie de concevoir des exercices à telle ou telle occasion. Par exemple dernièrement une amie m'a demandé d'aider son fils en première, et, ce faisant, dernièrement je retombe inopinément sur la méthode de Cardan, et je me dis, tiens, comment pourrait-on en faire un devoir (oui c'est bien le mot) ou un travail pour des élèves de niveau première ?
Du coup j'y ai passé une soirée, afin par exemple de ne pas reprendre simplement les exemples de Wikipédia.

Et oui, j'aimerais avoir un avis dessus. Est-ce à ce point incompréhensible?
J'aurais pu publier le tout en pièce jointe dans mon précédent message, mais je me suis dis que çà ferait trop pour un seul msg, néanmoins je peux encore le publier. Je veux dire sans le transmettre en MP.

[gg0]

Bof !
D'autres, peut-être.

[A voir en vidéo sur Futura]

[5t3ph]

Hello,

Je suis pas prof de maths mais ce sujet m'intéresse ��
Tu peux poster ton travail ici ��

[ulyss]

Hello 5t3ph ,

J'ai mis le pdf du devoir en pièce jointe, je sais pas si cela va bien apparaître.

Mon sujet est assez long, pour pouvoir tout expliquer, comme on n'est pas en contact direct...

Libre à vous de me dire ce que vous en pensez, ce qui m'intéresserait bien entendu. Si vous trouvez des erreurs dites moi ...

Equ_cubique_Cardan.pdf

P.S. : C'est un devoir pour des premières qui ne connaissent pas les nombres complexes.

[5t3ph]

Le pdf est lisible, merci.

[albanxiii]

Bonjour,

J'ai parcouru rapidement le document, il y a des choses parachutées, et un gros pavé "abstrait" et "théorique" à avaler en premier, j'ai peur que des élèves de première paniquent en voyant ça.

Par contre, en formalisant un peu plus et en guidant moins, ça pourrait être un bon sujet pour la transition entre la terminale et la première année du supérieur.

edit : je ne suis pas prof de maths, et je n'ai jamais enseigné ailleurs qu'en école d"ingé, je me base juste sur ce que j'ai pu voir sur le forum et ailleurs pour vous faire cette réponse.

[ulyss]

Merci pour votre retour albanxiii.
Effectivement la partie un peu "théorique" et longue du début risque d'être complètement indigeste pour des classes de premières. Et tout au long du devoir je propose des exemples résolus en détail, c'est assez procédurier, et laisse peu de place à l'initiative des élèves qui vont appliquer cette recette telle quelle, s'ils arrivent même seulement à lire les exemples seuls en entier.

L'idée serait plutôt de présenter en introduction la méthode sur un cas d'application à l'oral au tableau par exemple, puis de distribuer la feuille de "théorie" en l'expliquant et de laisser l'élève travailler chez lui en autonomie sur les exercices, expurgés de tout guidage trop serré.

En plus je présente d'abord la méthode de cardan, puis celle consistant à chercher des racines évidentes et à factoriser. La logique demanderait la démarche inverse, d'abord du simple, et quand ça marche pas on sort l'artillerie.

Pour un devoir de transition fin de terminale/post-bac on peut peut-être présenter la méthode en entier, avec l'utilisation des complexes, enfin je sais pas, c'est peut être un peu dur.

[ulyss]

Et je précise que je n'ai été prof de maths devant des classes que quelques années, gérer la discipline au collège m'a été plutôt fatiguant, voir insupportable. Je n'ai donné des cours en lycée qu'en stage post-capes.

[5t3ph]

Hello,

j'ai lu ton document. Pour des élèves de 1ères, il est décent.
Et quoi qu'on pense, les équations du 3ème degré, c'est avant tout une "épreuve calculatoire".
Donc y a pas milles manières d'aborder la chose.


Je voulais rebondir sur ton PS...

P.S. : C'est un devoir pour des premières qui ne connaissent pas les nombres complexes.

En effet, sans les nombres complexes, difficile d'être complet sur le sujet.

Maintenant, je me réfère à mon expérience. La 1ère fois que j'ai entendu parler des nombres complexes, c'était... En 1ère justement... Sur la résolution des équations du 3ème degré...

Et quand t'y penses... Tartaglia (et Bombelli je crois) a été le premier à avoir eu l'intuition d'utiliser cette racine de -1 comme "artifice calculatoire". La théorie des corps et compagnie, c'est arrivé bien longtemps après. Donc je rajouterais une partie en tant que "découverte" des nombres complexes. Parce que c'est quand même la beauté mathématique du sujet, historiquement et épistémologiquement parlant. Puis si les coeffs restent dans R, l'artifice calculatoire de la racine de -1 disparait quand tu fais ton u+v. Y a un truc magique qui se passe.

En expliquant bien sûr que cette racine de -1, ça va au-delà d'une simple notation, parce que sinon

Je pense qu'on a le droit de susciter la curiosité mathématique à des élèves de première. En tout cas, je l'ai fait plusieurs fois.

Faire découvrir l'existence, et la nécessité de la racine de -1, au travers de l'équation du 3ème degré, c'est concret, ça sort un peu de l'ordinaire.

[ulyss]

Merci pour le retour, 5t3ph

Avec des premières on peut peut-être introduire les complexes, de manière anecdotique,
mais il faut que çà reste simple.
Je suis d'accord avec toi que c'est fascinant d'apprendre que l'introduction des nombres complexes fut faite à l'occasion de la résolution de l'équation cubique.

Ici,comme tu l'as vu, c'est justement quand les solutions de l'équation auxiliaire du 2nd degré sont des complexes conjugués qu'on a trois solutions réelles à l'equ initiale.
Mais si on obtient et comme racines conjuguées,
il faut ensuite remonter à u et v (avec les notation du pdf)

Si, avec r module (qui peut se calculer aisément), on peut écrire :



En posant:



On a
ou ou
Et de même pour v

Il faut ensuite bien combiner les u et les v, pour vérifier 3uv = p.
On obtient ainsi les expressions:




Et du coup on a trois solutions réelles à l'équation initiale de degré trois :




Parfois (rarement je pense), on peut trouver facilement la valeur de de ou de .

Enfin bref, tout çà pour dire que pour remonter aux trois solutions réelles lorsque le discriminant de l'équation auxiliaire est négatif, il ne faut pas seulement introduire les nombres complexes d'une manière anecdotique qui soit accessible à des premières, il faut aussi introduire le module et l'argument d'un cpxe, les formules d'Euler, la racine cubique de l'unité j ....
C'est quand même largement au-delà du niveau première. Peut-être à la portée de terminales.

[5t3ph]

Ca peut être fait autrement...
Je reviens vers toi un peu plus tard...

[5t3ph]

Mes excuses pour ma réponse très tardive.

Bombelli est parti de l'équation réduite



dont il connaissait une solution réelle (+4) mais qui aboutit à un delta < 0.

L'intuition de Bombelli, c'est de s'être posé la question suivante...
Pourquoi cette racine, pourtant réelle, ne pouvait pas être déduite des formules connues (ie quand delta>0) ?

Il a donc appliqué la formule de Tartaglia-Cardan pour exprimer u³ et v³, à savoir :

et

soit et

En poursuivant cette idée que pourrait être -1, et qu'alors , il a ainsi calculé


et


pour se rendre compte que et étaient les cubes de et . Et c'est ainsi qu'il a retrouvé la valeur réelle u+v=4, les racines de -1 disapraissent automagiquement.

Enfin bref, tout çà pour dire que pour remonter aux trois solutions réelles lorsque le discriminant de l'équation auxiliaire est négatif, il ne faut pas seulement introduire les nombres complexes d'une manière anecdotique qui soit accessible à des premières, il faut aussi introduire le module et l'argument d'un cpxe, les formules d'Euler, la racine cubique de l'unité j ....
C'est quand même largement au-delà du niveau première. Peut-être à la portée de terminales.

Oui, complètement d'accord...
C'est pour ça que cette introduction aux nombres complexes ne devrait se limiter qu'au calcul du "zéro certain", les 2 autres solutions qui sont complexes conjuguées ont peu d'intérêt pour un élève de première...
Encore une fois, le but de la manoeuvre, c'est de montrer que i a été un simple artifice calculatoire avant d'être un concept bcp plus sophistiqué avec l'introduction de la théorie des corps, etc.

[ulyss]

Merci pour cet exemple 5t3ph ,

Cet exemple du à Bombelli est intéressant, et peut très probablement être présenté à des premières, je pense que çà passerait, même si ce n'est pas au programme.

Au début je pensais que tu me parlerais d'une méthode pour extraire les racines cubiques d'un complexe, telle que décrite par exemple ici :
https://fr.wikiversity.org/wiki/%C3%89quation_du_troisi%C3%A8m e_degr%C3%A9/Simplification_des_racines#Ext raction_des_racines_cubiques_d 'un_nombre_complexe

[duduch74]

cette méthode est souvent utilisée en terminale comme introduction aux nombres complexes (chapitre traité en "math expertes") et pas de manière aussi extensive que votre document. Peut-être devriez-vous comparer à ce qu'on trouve dans des livres ou des cours de math expertes ?

Peut-être qu'il faudrait préparer le terrain en faisant des rappels sur les puissances et les racines carrés (tout juste abordées en seconde) ou en faisant du manipuler des expressions du 3ème degré : comment développer (x+y)^3 par exemple, sans le binôme de Newton.

La racine cubique est totalement hors programme au lycée désormais.

Bref je pense c'est prématuré en première, sauf avec des élèves ayant des bases très solides et intéressés. Les autres seront largués.

[ulyss]

Merci duduch74,

Suivant vos conseils j'ai consulté l'ouvrage hyperbole Tle maths expertes de Nathan, et effectivement l'introduction des nombres cpxes se fait via Cardan (en activité pré-cours), avec une présentation très simplifiée de la méthode.

On peut feuilleter gratuitement l'ouvrage en ligne.
Mais bien évidemment, je pense que je n'ai pas le droit d'en publier une capture d'écran sur ce forum.
Non ?

Ils ne détaillent pas du tout la méthode. Ils envoient directement l'équation auxiliaire du 2nd degré en affirmant (apparemment admis par l'élève) que l'on doit ajouter les racines cubiques des solutions pour obtenir celles de l'equ cubique.

Voici un lien vers la page :
https://biblio.nathan.fr/specimen/97...1hcms9dHJ1ZQ==
Il faut créer un compte pour visualiser.

Peut être que ça t'intéresserait de voir ça aussi, 5t3ph

[duduch74]

le but en math expertes c'est d'introduire les nombres complexes, rien de plus par une approche historique, mais pas de proposer une démonstration complete.

[5t3ph]

Hello,

Voici un lien vers la page :
https://biblio.nathan.fr/specimen/97...1hcms9dHJ1ZQ==
Il faut créer un compte pour visualiser.

C'est bien fait oui.
Merci d'avoir partagé, je ne connaissais pas.