De l'aide pour un probléme mathématique simple

[Victor Curie Ismard]

Bonjour à tous et à toutes.
J'ai un problème mathématique dont l'ennoncé est plutôt simple mais que je n'arrive pas résoudre.

Soient E un ensemble finit d'élément et e et e' deux éléments de E, distinct ou non.
Prenons une fonction f qui prend en paramètre deux éléments de E et qui renvoie un élément de E.
Enfin, soit u une suite "en deux dimensions" telle que :
pour tout n entier naturel : u(n; 0) = u(0; n) = e
pour tout couple d'entier naturel (x; y) : u(x+1; y+1) = f( u(x+1; y) ; u(x; y+1) )

Je cherche une technique pour démontrer que si oui ou non pour tout couple (x; y) : u(x; y) ≠ e'
en ayant au préalable, sous forme de tableau par exemple, la formule de f explicité, ainsi que la valeur de e et e'.

Je me doute qu'il faille s'aider de la récurrence mais je sèche.

En espérant avoir été claire, je remercie d'avance ceux et celles qui me répondrons.
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[gg0]

Bonjour.

Déjà, si e'=e, on a u(0,0)=e=e'. La réponse est non
Ensuite, si f ne donne jamais la valeur e', alors c'est tout de suite oui.
Et il doit y avoir d'autres cas élémentaires de ce genre.

Mais une méthode générale, à part de tester progressivement tous les u(x,y) en évitant les boucles, je ne crois pas qu'il en existe. C'est proche de la récurrence, mais on le fait pas à pas : u(0,0)=e; (1,0)=e; u(0,1)=e, u(1,1)=f(u(1,0),u(0,1))=f(e,e) = ..; etc.

Cordialement.

[Victor Curie Ismard]

Oui c'est l'idée.
Néanmoins ça paraitrait très étonnant qu'il n'existe pas de méthode générale.
De plus, si cette méthode existe, je pense qu'elle permettrais de savoir si il existe bel est bien un couple (x; y) pour lequel u(x; y) = e, plus rapidement que de tester une par une les valeurs de u. En effet, j'ai réaliser un programme informatique qui calcul un grand nombre des valeurs de la suite u. L'ensemble E est ici considéré comme l'ensemble {0; 1; 2} et pour tout n entier naturel : u(n; 0) = u(0; n) = 0. En prenant une fonction f aléatoire qui respecte bien sûr les règles de l'énoncé, je me suis aperçus qu'il existe des fonctions f pour lequel de nouvelles valeurs apparaissent tardivement dans la suite u. C'est à dire que pour certaines fonction f est un certain e', l'égalité u(x; y) = e' n'est vérifier que si max(x; y) est égal à un grand nombre. En l'occurrence, pour E = {0; 1; 2}, max(x; y) pouvait atteindre plusieurs centaines ! Pourtant, l'énoncé est assez simple, donc il doit quand même bien exister une méthode plus rapide pour savoir si il existe un x et un y tel que u(x; y) = e', plus rapidement que de calculer un grand nombre de valeur.

PS : max(x; y) est une fonction qui renvoie x si x > y et y si y > x

[gg0]

Si E={0,1,2}, la plus grande valeur qui peut apparaître est 2.
Donc tu ne respectes pas ta propre règle.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]