Est ce réellement irrésoluble?

[invitef47010ed]

Bonjour,
j'ai lu dans mon cours d'algèbre linéaire qu'on ne savait pas résoudre y''=-k*sin(y) explicitement...
Est ce réellement impossible? A t on prouvé que ça l'était?
Merci
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[invite4ef352d8]

Salut !

on sait la ressoudre, dans le sens ou on peut d'ecrire l'evalotion de y : montrer qu'elle est periodique, calculer sa periode, calculer numeriquement sa valeur en n'importe qu'elle point etc...


mais la solution de cette equation ne s'exprime pas par des fonctions usuelle; il s'agit (si ma memoir est bonne) d'une des fonction de Jacobie.

[invite97a92052]

il s'agit (si ma memoir est bonne) d'une des fonction de Jacobie.

Oui, plus d'informations ici :http://fr.wikipedia.org/wiki/Pendule_simple (en fait c'est l'équation du mouvement du pendule simple)

[invitef47010ed]

Donc visiblement on ne sait pas la résoudre de façon explicite... Mais est-ce qu'il existe une preuve de celà?

[A voir en vidéo sur Futura]

[breukin]

Le concept de résolution explicite a-t-il vraiment un sens mathématique ?
Sait-on résoudre de façon explicite y"=-k.y ?
Sans l'invention des fonctions trigonométriques, on ne sait pas résoudre explicitement cette équation. Alors on invente de nouvelles fonctions qui font que la résolution devienne explicite.
C'est la même chose avec l'équation du pendule.
On pourrait répondre qu'on sait toujours résoudre explicitement une équation différentielle en inventant la fonction ad hoc qui la résout.

[breukin]

Question subsidiaire : c'est quoi une fonction usuelle ?
Une telle question n'a pas de réponse rigoureuse d'un point de vue strictement mathématique. C'est de la pure subjectivité, chacun met les limites où il veut à l'usuel.

[inviteaf1870ed]

En fait on parle plutôt de résolution par quadratures, c'est à dire par des fonctions élémentaires.
Le lien suivant te donnera quelques éclaircissements
http://perso.orange.fr/denis.feldmann/PDF/liou.pdf

[invite4ef352d8]

Question subsidiaire : c'est quoi une fonction usuelle ?
Une telle question n'a pas de réponse rigoureuse d'un point de vue strictement mathématique. C'est de la pure subjectivité, chacun met les limites où il veut à l'usuel.

ba ouai... si tu dit que les fonction de jacobie, ou les integrale elliptique inverse sont des fonction usuelle, alors on "sait" ressoudre cette equation...

mais je toruve que ce n'est pas comme sa qu'il faut voir le probleme ! on sait ressoudre cette equation !

on peut te donner toute les propriété de la solution, calculé sa valeur en n'importe qu'elle point, parfois aussi bien qu'on sait calculer un logarythme ou un sinus...

d'ailleur on peut montrer dans le cas du pendul (on equation) que :la periode T vaut (sauf erreur) : T=2*Pi*sqrt(1/k)/M(1,cos(a/2))


ou M designe la moyenne de gausse (moyenne artithmetico-geometrique), et a l'amplitude des oscilation autour de l'equilibre (qui depend des conditions initiales contrairement a l'oscilateur harmonique)

et honetement, le calcule d'une moyenne de gausse est Bien plus rapide et bien plus simple que celui du cos(a/2)... donc qu'est ce qui nous fait dire que ceci n'est pas une fonction usuelle ??

[invitef47010ed]

Ok merci de m'avoir éclairer! Tout est question de ce qu'on veut en fait...
En fait je pourrais même inventer la fonction X telle qu'elle soit solution de y''=-k*sin(y) et c'est bon j'ai ma solution!C'est d'ailleurs comme ça qu'on peut définir l'exponentielle nan? Comme l'unique solution de y'=y tel y(0)=1 .Je vois mieux le truc maintenant...

[invite4ef352d8]

tous a fait !


apres il existe des equations differentiel, ou systeme d'equation différentielle qu'on ne sait VRAIMENT pas ressoudre , dans le sens ou on est incapable de dire quoi que se soit sur l'aspect de la sollution !et encore moins de calculer les valeur que prend la sollution des qu'on s'eloigne un peu trop des condition initiales (pour des equation differentielle faisant intervenir une seul fonction je ne sait pas, mais pour des systemes d'equation differentielle, ou pire des equations au dérivé partielle, c'est assez courant)


ici, la solution ne s'exprime pas par des fonction usuelle, mais on sait a peu pres calculer tous ce qu'on veut sur la solution !