Centre de l'algèbre Mn(C)

[invitea87a1dd7]

Salut à tous !
Voilà, je bloque encore sur ce problème (assez long) d'algèbre.



Dans la section II.Matrices élémentaires.
La dernière question propose de chercher l'ensemble des matrices qui commutent avec toute matrice inversible.
Pour la première question, ca va, ca se fait avec les matrices élémentaires. Mais l'ennui, c'est que l'ensemble A de la question 1 est compris dans l'ensemble B que l'on recherche...
Alors je sais pas s'il faut expliciter l'ensemble ou bien tout simplement dire, par exemple, que c'est le sous-espace propre d'un l'automorphisme intérieur définie dans la partie I (en fait c'est peut être l'intersection de tous les sous-espaces propres non ?)
Merci de me mettre sur la voie...

@++
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[invite8b04eba7]

Salut !

La dernière question propose de chercher l'ensemble des matrices qui commutent avec toute matrice inversible.

Essaie de montrer qu'une matrice qui commute à toute matrice inversible commute en fait à toute matrice (tu peux le faire de façon topologique ou algébrique). Ensuite tu pourras utiliser la question précédente.

Bon courage !

[invitea87a1dd7]

Ok en gros, il faut montrer A=B On a déja A inclus dans B. Reste à montrer que B inclus dans A.
Faut le faire de manière algébrique ici je pense...

@++

[invitea87a1dd7]

Je sais pas si c'est bon, mais n'y-a-t-il pas une histoire de densité derrière tout ça ? Au voisinage de toute matrice, il existe une matrice inversible ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedf667161]

Je sais pas si c'est bon, mais n'y-a-t-il pas une histoire de densité derrière tout ça ? Au voisinage de toute matrice, il existe une matrice inversible ?

Ce serait l'argument topologique dont parlait doudache que ça ne m'étonnerait pas, en effet.

[invitea87a1dd7]

Oki, mais déja je n'arrive pas à le formaliser...
Ensuite, j'aimerais y arriver de manière algébrique...je continue à chercher
(il faut mieux avoir les deux méthodes)

[invitea87a1dd7]

Bon alors, j'ai fait ça rapidement :
On a pour toute matrice Y, inversible à partir d'un certain rang. Donc on lui applique la propriété de 2. on a donc :

D'où le résultat pour toute matrice...
Est-ce que c'est bon ?
Par contre, je n'arrive pas à le faire par le calcul (méthode algébrique)...Faut-il utiliser les matrices élémentaires comme avant ?

@++

[invite5fb20d44]

Toute matrice est la somme de deux matrices inversibles. Plus précisément, pour toute matrice A, il existe k dans K tel que A-k In soit inversible (à supposer que K est infini). Il suffit de choisir k hors du spectre de A.

[invitea87a1dd7]

Oui c'est bien ce que j'avais dis avant (inversible à partir d'un certain rang car le spectre étant de cardinal fini, on a, à partir d'un certain rang, 1/p qui n'appartient pas au spectre)
Mais l'ennui, c'est que je cherche une autre solution (si elle existe)...juste avec le calcul algébrique (sans utiliser la réduction, ni la topologie)...

@++

[invite5fb20d44]

Qu'est-ce qui n'est pas algébrique là-dedans ?

[invitea87a1dd7]

Euh bah, je sais pas, je pensais qu'on pouvait y arriver par un calcul (comme dans 1)...mais en fait non, c'est bête. De toute façon, la densité de l'ensemble des matrices inversibles dans l'ensemble des matrices est un résultat qu'on peut utiliser (ie pas nécessaire de le redémontrer)
Bon bah merci à vous tous alors

[invite5fb20d44]

Ben je l'utilise pas :

inversible

Du coup, si k n'est pas dans le spectre,



Donc le noyau est bien nul. C'est du tout algébrique, ça, certifié 100% conforme.

[invitea87a1dd7]

Ca utilise tout de même la réduction et les éléments propres... . Je pensais qu'il y avait une méthode n'utilisant pas ça justement (pour l'exercice uniquement, pas en général).. Mais bon, puisque ca marche.

[invite5fb20d44]

Pas de réduction. La notion de valeur propre est une notion purement algébrique, simple de surcroît. Elle sert souvent à la réduction, mais elle ne l'implique pas. Il y a que des noyaux là-dessous.

[invite8b04eba7]

Salut !

Mais l'ennui, c'est que je cherche une autre solution (si elle existe)...juste avec le calcul algébrique (sans utiliser la réduction, ni la topologie)...

Par algébrique je pensais tout simplement à utiliser les matrices qui elles sont clairement inversibles. Mais ça rejoint un peu tout ce qui a été dit précédemment...

Et je préfère procéder comme cela plutôt que par densité : le même exercice est vrai sur n'importe quel corps (disons de caractéristique différente de 2, on ne sait jamais), alors que définir une topologie sur un corps quelconque ce n'est pas forcément évident...

[invitea87a1dd7]

Ok Doudache Mais comment fais-tu juste avec ces deux matrices ?
Sinon pour la question 3.b de la partie III,
Après avoir calculé ce qui est demandé dans la question 3.a j'obtiens :


Donc j'ai :
(En posant
)



ie :


Et on a aussi :


Donc c'est là que j'ai un problème. J'ai une somme de terme qui est nul. Je sais que les forment une famille libre. Le problème vient des coefficients
Je sais qu'ils sont tous nuls, mais comment montrer que cela implique que tous les sont nuls ? (Sachant que X est une matrice quelconque ici)

[invitea87a1dd7]

Bon alors, je pense avoir trouvé. Dites moi si le raisonnement tient debout :
On a :



Si :

C'est vrai en particulier pour :
et ce, pour tout (i,j) dans [1;n]
Donc :

Or la famille :
est une famille libre.
Donc cela prouve que les coefficients de la combinaison linéaire sont nuls.
Donc :

Donc c est nulle.

@++

[invite8b04eba7]

Mais comment fais-tu juste avec ces deux matrices ?

J'avoue que je ne comprends pas de quelles matrices tu parles... Le raisonnement que je te propose est le suivant :

Soit A une matrice qui commute à tous les éléments inversibles. Elle commute donc aux matrices I_n+E_ij (il y en a n²). Puisqu'elle commute aussi à I_n, elle commute à toutes les matrices E_ij ; d'après la question précédente, A est donc une matrice scalaire.

Pour la question 3, tu as la bonne solution (note que c'est ce genre de raisonnement qui te permet de montrer que la duale d'une base est une base).

[invitea87a1dd7]

Merci doudache, maintenant, c'est parfaitement clair

[invitea87a1dd7]

Et au fait, la dimension de L(Mn(C)) est finie ou pas ? (moi j'aurai dit infinie...)

[invite8b04eba7]

Et au fait, la dimension de L(Mn(C)) est finie ou pas ? (moi j'aurai dit infinie...)

Perdu !

La dimension de L(E), pour E un espace vectoriel de dimension n, c'est n² (dans dans ton cas ça sera n⁴ ; les applications linéaires en forment d'ailleurs une base !).

[invitea87a1dd7]

Pour la question 3.c :
On a montré que si Fc=0 alors c=0 et ce pour toute application c dans l'ensemble des scalaires. Donc la famille :

est une famille libre (famille d'éléments de L(Mn(C)))
Reste à relier ça à :


edit : oui doudache, d'ailleurs je viens à l'instant de montrer que j'ai une famille libre de cardinal n^4, et comme la dim est n^4 et bien on a le résultat.....

[invitea87a1dd7]

Enfin, mon dernier truc n'est pas si évident. La forme demandée ressemble mais n'est pas exactement pareil....ou alors c'est terminé ? Suffit-il de dire que c'est une base pour montrer l'existence de la décomposition demdandée ?

[invitea87a1dd7]

En fait, je sais pas s'il faut expliciter les et ...
J'ai essayé, mais ca me semble trop calculatoire..